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(2013？上海)已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-1，0)、...
科目：数学 关键词：f1 2013 上海其他类似问题
问题1：已知椭圆C的两个焦点分别为F1（-1,0）,F2（1,0）,短轴的两个端点分别为B1,B2（1）若三角形F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,且向[数学科目]（1）设椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
＝1(a＞b＞0)．
根据题意知
a＝2b
a2?b2＝1
,解得a2＝
4
3
,b2＝
1
3
故椭圆C的方程为
3x2
4
+3y2＝1．
（2）由2b=2,得b=1,所以a2=b2+c2=2,得椭圆C的方程为
x2
2
+y2＝1．
当直线l的斜率不存在时,其方程为x=1,不符合题意；
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k（x-1）．
由
y＝k(x?1)
x2
2
+y2＝1
,得（2k2+1）x2-4k2x+2（k2-1）=0．
设P（x1,y1）,Q（x2,y2）,则
x1+x2＝
4k2
2k2+1
,x1x2＝
2(k2?1)
2k2+1
,
F1P
＝(x1+1,y1),
F1Q
＝(x2+1,y2)
因为
F1P
⊥
F1Q
,所以
F1P
?
F1Q
＝0,即
(x1+1)(x2+1)+y1y2＝x1x2+(x1+x2)+1+k2(x1?1)(x2?1)
=(k2+1)x1x2?(k2?1)(x1+x2)+k2+1
=(k2+1)
2(k2?1)
2k2+1
?(k2?1)
4k2
2k2+1
+k2+1
=
7k2?1
2k2+1
＝0,解得k2＝
1
7
,即k=±
7
7
．
故直线l的方程为x+
7
y?1＝0或x?
7
y?1＝0．
问题2：已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使asin∠PF1F2=csin∠PF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. （0，2-1）B. （22，1）C. （0，22）D. [数学科目]在△PF1F2中，由正弦定理得：P F
F
1F
2=PF
1sin∠PF
2F
1则由已知得：aP
F
2=cPF
1，即：aPF1=cPF2
设点P（x0，y0）由焦点半径公式，
得：PF1=a+ex0，PF2=a-ex0
则a（a+ex0）=c（a-ex0）
解得：x0=a(c-a)e(c+a)=a(e-1)e(e+1)
由椭圆的几何性质知：x0＞-a则a(e-1)e(e+1)＞-a，
整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜-2-1或e＞2-1，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：e∈（2-1，1），
故选D． 问题3：设F1,F2分别为椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点,过F2的直线与椭圆C相交于AB两点设F1,F2分别为椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的直线L与椭圆C相交于A、B两点,直线L的倾斜角为60°,F1到直[数学科目]
2c=2√3/sin60=4
所以c=2
AF2=x
AF1=2a-x,
余弦定理
x²+16-2×4×x×cos120=(2a-x)²
x²+16+4x=4a²-4ax+x²
(4a+4)x=4a²-16
x=(a²-4)/(a+1)
|AF2|=(a²-4)/(a+1)
同理设BF2=t,那么BF1=2a-t
余弦定理
t²+16-2×t×4×cos60=(2a-t)²
t²+16-4t=4a²-4at+t²
(4a-4)t=4a²-16
t=(a²-4)/(a-1)
|BF2|=(a²-4)/(a-1)
题目有误,应该是BF2=2F2A
2(a²-4)/(a+1)=(a²-4)/(a-1)
a+1=2(a-1)
a=3
b²=a²-c²=5
方程：x²/9+y²/5=1
这题刚做过,应该是这个答案,可以交流
问题4：椭圆E:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2点,A(4,m)在椭圆E上,且向量AF2*向量F1F2=0,点D（2,0）到直线F1A的距离DH=18/5（1）椭圆E的方程（2）设点P为椭圆E上任意一点,求向量PF1*向量PD的取值范[数学科目]（1） AF2 * F1F2 =0,所以两向量垂直,
则F2坐标为（4,0）,F1坐标为（-4,0）,c=4,
椭圆准线x=+/-a^2/4；
三角形F1DH相似与三角形F1AF2,则F1H/F1F2 = DH/F2A ; (1)
F1H=根号(F1D^2-DH^2)=根号(6^2-(18/5)^2)=24/5;
所以由（1）式得：(24/5)/8=(18/5)/m;得到m=6；
根据准线的性质可得：a^2/4-4=6 ,所以a=2倍的根号10；
则b=根号(a^2-c^2)=2倍的根号6;
所以椭圆E的方程为：x^2/40+y^2/24=1;
(2) 设P点坐标(x,y),设M=PF1 * PD=（x+4,y）*（x-2,y）=x^2+2x-8+y^2；
则M=x^2+2x-8+y^2=x^2+2x-8+（24-3x^2/5）
=2x^2/5+2x+16 (x大于等于-2倍的根号10,小于等于2倍的根号10)
在二次函数的对称轴x=-2.5上取的最小值Mmin=17/2;
在x=2倍的根号10时取得最大值Mmax=32+4倍的根号10.
综上：取值范围是 17/2
问题5：已知椭圆C的一个焦点为F1(-√2,0),焦距与短轴相等.(1)求椭圆C的方程；若椭圆另一焦点F2,试问椭圆上是否存在一点P,PF1 丄 PF2,若存在试求处P点坐标,若不存在试说明理由[数学科目]焦距与短轴相等,2b=2c
一个焦点为F1(-√2,0),c=√2
a^2=b^2+c^2=4
椭圆C的方程x^2/4+y^2/2=1
F1(-√2,0),F2(√2,0),P(x0,y0)
PF1 丄 PF2,向量PF1*PF2=0
(-√2-x0,-y0)*(√2-x0,-y0)=0
x0^2+y0^2=2
P在椭圆上x0^2/4+y0^2/2=1
解得y0^2=2,x0^2=0
P点坐标(0,-√2)(0,√2)
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