已知A，B，C为三角形ABC的三个内角，在平面直角坐标系中...

优质解答

输入的应该是 P(√2*sinc/2,sin(A-B)/2),

1

∵|向量OP|=根号6/2

∴2sin2C/2+sin2(A-B)/2=3/2

∴1-cosC+[1-cos(A-B)]/2=3/2

3/2+cos(A+B)-cos(A-B)/2=3/2

cosAcosB-sinAsinB-1/2*cosAcosB-1/2sinAsinB=0

1/2 cosAcosB=3/2sinAsinB

sinAsinB/(cosAcosB)=1/3

∴tanA*tanB=1/3

2

tanC=-tan(A+B)=-(tanA+tanB)/(1-tantanB)

=-(tanA+tanB)/(1-1/3)=-3/2(tanA+tanB)/

∵tanA+tanB=1/3,∴tanA>0,tanB>0

∴tanA+tanB≥2√(tanA*tanB)=2/√3

当tanA=tanB时取等号

∴-3/2(tanA+tanB）≤-√3

即tanC≤-√3

∴C≤2π/3

即C为钝角,最大值为2π/3

其他类似问题

问题1：在三角形ABC中,内角ABC对边的边长分别为a,b,c,c=2,C= 60度.若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求ABC的面积[数学科目]

sinC+sin(B-A)=2sin2A

sin[π-(A+B)]+sin(B-A)=2sin2A

sin(A+B)+sin(B-A)=2sin2A

sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA-cosBsinA=2sin2A

2sinBcosA=2sinAcosA

cosA(sinA-sinB)=0

当cosA=0,即A=90°时

B=180°-90°-60°=30°

由正弦定理a/sin90=b/sin30=c/sin60

得 a=4√3/3,b=2√3/3

S=1/2absinC=2√3/3

当sinA=sinB时

A=B或A=π-B(舍去)

则A=B=60°

△ABC是等边三角形 a=b=c=2

S=√3/4*2^2=√3

问题2：在三角形abc内,内角A,B,C对边分别是a,b,c,已知c=2,C=60°若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求三角形的面积[数学科目]

已知C=60°,则A+B=120°.得B-A=120°-2A,将其与C=60°一并代入原式：

sin60°+sin(120°-2A)=2sin2A

→sin60°+sin120°cos2A-cos120°sin2A=2sin2A

→√3/2+√3/2cos2A-(-1/2)sin2A=2sin2A

→√3/2+√3/2cos2A=3/2sin2A

→1+cos2A=√3sin2A

→1+cos2A=√3·√(1-cos²2A)

两边平方后解得：cos2A=1/2,或cos2A=-1

即得：A=30°,或A=90°.

相应有：B=90°或B=30°.

故ABC为直角三角形,其60°角对边长为2,则其30°角对边长为2/√3.

得：S△ABC=½×2×2/√3=2√3/3.

问题3：在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，证明：a2-b2c2=sin(A-B)sinC．[数学科目]

证明：由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
b²=a²+c²-2accosB，（3分）
∴a²-b²=b²-a²-2bccosA+2accosB整理得

a

2

-

b

2

c

2

=acosB-bcosAc

（6分）
依正弦定理，有ac=sinAsinC，bc=sinBsinC

，（9分）
∴

a

2

-

b

2

c

2

=sinAcosB-sinBcosAsinC

=sin(A-B)sinC

（12分）

问题4：在△ABC中,已知(a^2+b^2)sin(A-B)=(a^2-b^2)sinC,试判断三角形的形状．[数学科目]

(a^2+b^2)sin(A-B)=(a^2-b^2)sinC,

(sin^A+sin^B)sin(A-B)=(sin^A-sin^B)sin(A+B)

sin^A*(sin(A+B)-sin(A-B))=sin^B*(sin(A-B)+sin(A+B))

sin^A*2cosAsinB=sin^B*2sinAcosB

sin^A*2cosAsinB-sin^B*2sinAcosB=0

sinAsinB(sin2A-sin2B)=0

sin2A=sin2B

2A=2B 或2A+2B=180度

A=B或A+B=90度

故△ABC是等腰三角形或直角三角形

问题5：已知三角形ABC,三边a、b、c,角C=60°,c=2,sinC+sin(B-C)=2sin2A 求三角形ABC的面积[数学科目]

∵SinC+Sin（B-A）=2Sin2A

2sinBcosA=4sinAcosA

sinB=2sinA

b=2a

c²=a²+b²-2abcosC

a=2/√3

b=4/√3

∴S△ABC=1/2absinC

=1/2×8/3×√3/2

=2√3/3

参考:

已知C=60°,则A+B=120°.得B-A=120°-2A,将其与C=60°一并代入原式：

sin60°+sin(120°-2A)=2sin2A

→sin60°+sin120°cos2A-cos120°sin2A=2sin2A

→√3/2+√3/2cos2A-(-1/2)sin2A=2sin2A

→√3/2+√3/2cos2A=3/2sin2A

→1+cos2A=√3sin2A

→1+cos2A=√3·√(1-cos²2A)

两边平方后解得：cos2A=1/2,或cos2A=-1

即得：A=30°,或A=90°.

相应有：B=90°或B=30°.

故ABC为直角三角形,其60°角对边长为2,则其30°角对边长为2/√3.

得：S△ABC=½×2×2/√3=2√3/3.