数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2且Sn=Sn-1+2n(n≥2，n∈...

精选知识

（I）因为S_n=S_n-1+2n，
所以有S_n-S_n-1=2n对n≥2，n∈N^*成立（2分）
即a_n=2n对n≥2成立，又a₁=S₁=2?1，
所以a_n=2n对n∈N^*成立（3分）
所以a_n+1-a_n=2对n∈N^*成立，所以{a_n}是等差数列，（4分）
所以有

S

n

＝

a

1

+

a

n

2?n＝

n

2

+n

，n∈N^*（6分）
（II）存在．（7分）
由（I），a_n=2n，n∈N^*对成立
所以有a₃=6，a₉=18，又a₁=2，（9分）
所以由b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉，则

b

2

b

1

＝

b

3

b

2

＝3

（11分）
所以存在以b₁=2为首项，公比为3的等比数列{b_n}，
其通项公式为b_n=2?3^n-1．（13分）

其他回答

(1)Sn-S(n-1)=2n

an=2n……等差数列，a1=2,d=2

Sn=n²+n

(2)b1=a1=2, b2=a3=6, b3=a9=18

q=3

bn=2×3^(n-1)

其他类似问题

问题1：在数列｛an｝中,a1=2/3,an+1=2an/an+1 证明｛1/an -1｝为等比数列 求数列｛（2n-1）/an｝的前n项和Sn[数学科目]

(1)

a(n+1)=2an/(an +1)

1/a(n+1)=(an+1)/(2an)=(1/2)(1/an)+1/2

1/a(n+1) -1=(1/2)(1/an)-1/2=(1/2)(1/an -1)

[1/a(n+1)-1]/(1/an -1)=1/2,为定值.

1/a1-1=1/(2/3)-1=1/2

数列{1/an -1}是以1/2为首项,1/2为公比的等比数列.

(2)

1/an -1=1/2?

1/an=1+1/2?

(2n-1)/an=(2n-1)(1+1/2?)=(2n-1)+(2n-1)/2?=2n-1-1/2?+n/2^(n-1)

Sn=2(1+2+...+n)-n-(1/2)(1-1/2?)/(1-1/2)+1/1+2/2+3/22+...+n/2^(n-1)

=n2+1/2?-1+[1+2/2+3/22+...+n/2^(n-1)]

令Cn=1+2/2+3/22+...+n/2^(n-1)

则Cn/2=1/2+2/22+...+(n-1)/2^(n-1)+n/2?

Cn-Cn/2=Cn/2=1+1/2+1/22+...+1/2^(n-1)-n/2?

=(1-1/2?)/(1-1/2)-n/2?

=2(1-1/2?)-n/2?

Cn=4-4/2?-2n/2?

Sn=n2+1/2?-1+4-4/2?-2n/2?=n2-(2n+3)/2? +3

问题2：在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3N+1（1）证明数列{an-N}是等比数列；（2）求数列{an}的前项和Sn.谢谢高...在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3N+1（1）证明数列{an-N}是等比数列；（2）求数列{an}的前项和Sn.谢谢高手

a[n+1]-(n+1)=4a[n]-3n+1-(n+1)=4a[n]-4n=4(a[n]-n)

所以a[n+1]-(n+1)/(a[n]-n)=4

设bn=an-n,所以bn是等比数列,b1=1,q=4

Sbn=(4^n-1)/3

San=Sbn-(1+2+3.+n)

=(4^n-1)/3-(1+n)*n/2

=(4^n-1)/3-(n+n^2)/2

问题3：在等比数列{an}中,a1=2,前n项和为Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则Sn等于?[数学科目]

(a2+1)²=(a1+1)(a3+1)

a1=2,设an公比q

(2q+1)²=3(2q²+1)

4q²+4q+1=6q²+3

2q²-4q+2=0

q=1

所以an=a1=2

Sn=2n

问题4：设数列{an}的前n项和为Sn，且2an=Sn+2n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a1，a2，a3；（Ⅱ）求证：数列{an+2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n?an}的前n项和Tn．[数学科目]

（本小题满分13分）
（I） 由题意，当n=1时，得2a₁=a₁+3，解得a₁=3．
当n=2时，得2a₂=（a₁+a₂）+5，解得a₂=8．
当n=3时，得2a₃=（a₁+a₂+a₃）+7，解得a₃=18．
所以a₁=3，a₂=8，a₃=18为所求．…（3分）
（Ⅱ）证明：因为2a_n=S_n+2n+1，所以有2a_n+1=S_n+1+2n+3成立．
两式相减得：2a_n+1-2a_n=a_n+1+2．
所以a_n+1=2a_n+2（n∈N^*），即a_n+1+2=2（a_n+2）．…（5分）
所以数列{a_n+2}是以a₁+2=5为首项，公比为2的等比数列．…（7分）
（Ⅲ） 由（Ⅱ） 得：a_n+2=5×2^n-1，即a_n=5×2^n-1-2（n∈N^*）．
则na_n=5n?2^n-1-2n（n∈N^*）．…（8分）
设数列{5n?2^n-1}的前n项和为P_n，
则P_n=5×1×2⁰+5×2×2¹+5×3×2²+…+5×（n-1）?2^n-2+5×n?2^n-1，
所以2P_n=5×1×2¹+5×2×2²+5×3×2³+…+5（n-1）?2^n-1+5n?2ⁿ，
所以-P_n=5（1+2¹+2²+…+2^n-1）-5n?2ⁿ，
即P_n=（5n-5）?2ⁿ+5（n∈N^*）．…（11分）
所以数列{n?a_n}的前n项和T_n=(5n-5)?

2

n

+5-2×n(n+1)2

，
整理得，T_n=（5n-5）?2ⁿ-n²-n+5（n∈N^*）．…（13分）

问题5：在等比数列an中,a1=3,前n项和为Sn,若数列[an+1]是等比数列,则Sn=多少[数学科目]

{an}是等比数列,设公比为q,{an+1}是等比数列,设公比为q',则有

a2=a1q

a2+1=(a1+1)q'

3q+1=4q' (1)

a3=a1q^2

a3+1=(a1+1)q'2

3q^2+1=4q'^2 (2)

联立(1),(2),得关于q,q'的方程组.

由(1)得q'=(3q+1)/4,代入(2)并整理,得

q^2-2q+1=0

(q-1)^2=0

q=1

q'=(3q+1)/4=(3+1)/4=1

Sn=3n