如题，希望其中的数学字符能用公式编辑器输入好了解答.

精选知识

这个题用不到太特别的数学符号,所以我就不用公式编辑器了.

概念清楚的话,题目其实不难.

一个有1的交换环是Noether环当且仅当其中任意理想都是有限生成的.

而整数环Z是主理想环,即其中每一个理想都可由一个元素生成.

因此Z是Noether环.

补充一下Z是主理想环的证明.

设I是Z的一个理想.

若I = {0},则I可由0生成.

若I ≠ {0},即I中有非零元素,考虑I中非零元素的绝对值集合.

其为自然数集的非空子集,因此存在最小值,可设a是I中绝对值最小的非零元素.

对任意b ∈ I,由带余除法,存在整数q,r满足0 ≤ r < |a|使得b = aq+r.

可知r = b-aq ∈ I,又|r| < |a|,由假设只有r = 0,即b = aq ∈ a生成的理想.

于是I ? a生成的理想,又a生成的理想 ? I,故I = a生成的理想.

I可由a生成.

其他类似问题

问题1：设Z是整数环,p是一个素数,证明（p）是Z的素理想[数学科目]

要证明（p）是Z的素理想,只需证明对于任意两个整数a,b,若ab属于（p）,则有a属于（p）或者b属于（p）.不妨设ab=kp,k为一整数.则p|ab,即p|a或者p|b,这就证明了若ab属于（p）,则有a属于（p）或者b属于（p）.

问题2：整数环Z的理想共有多少个?答的是个数.然后说明为什么有这么多个.[数学科目]

要证明（p）是Z的素理想,只需证明对于任意两个整数a,b,若ab属于（p）,则有a属于（p）或者b属于（p）.不妨设ab=kp,k为一整数.则p|ab,即p|a或者p|b,这就证明了若ab属于（p）,则有a属于（p）或者b属于（p）.

问题3：以（x,y,z）表示三元有序整数组,其中x,y,z为整数,证明在任意七个三元整数组中,至少有两个三元数组,它们的x,y,z元中有两对都是奇数或都是偶数[数学科目]

先讨论x

7÷2=3……1

所以,任意七个三元整数组中,

至少有4个的x是奇数或是偶数,

假设第一、二、三、四组的x都是偶数,

①假若这四组中有两组y或z是偶数,

则出现有两个三元数组,

它们的x,y,z元中有两对都是偶数这种情形,

所以这种情形结论成立；

②假若这四组中有至多一组y或z是偶数,

则出现有两个三元数组,

它们的y,z元中有两对都是奇数这种情形,

所以这种情形结论也成立.

故任意七个三元整数组中,

至少有两个三元数组,它们的x,y,z元中有两对都是奇数或都是偶数

问题4：设x、y、z为整数,证明:x^4*(y-z)+y^4*(z-x)+z^4*(x-y)/(y+z)^2+(z+x)^2+(x+y)^2为整数[数学科目]

x^4(y-z)+y^4(z-x)+z^4(x-y)

=xy(x^3-y^3)+yz(y^3-z^3)+zx(z^3-x^3)

=xy(x^3-y^3)+yz(y^3-z^3)-zx[(x^3-y^3)+(y^3-z^3)]

=x(y-z)(x^3-y^3)+z(y-x)(y^3-z^3)

=(x-y)(y-z)[x(x^2+xy+y^2)-z(y^2+yz+z^2)]

=(x-y)(y-z)[(x^3-z^3)+(x^2-z^2)y+(x-z)y^2]

=(x-y)(y-z)(x-z)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)

又(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2=2(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)

所以[x^4(y-z)+y^4(z-x)+z^4(x-y)]/[(x+y)^2+(y+z)^2+(z+x)^2]

=(x-y)(y-z)(x-z)/2

又因为x-y,y-z,x-z三个数中至少有一个是偶数

所以(x-y)(y-z)(x-z)/2为整数,证毕

问题5：麻烦谁帮我讲一下模和谱还有诺特环的概念我是本科的,那本抽象代数只讲了群环域还有扩域,没有讲到谱和模还有诺特环.我交换环,整环,除环,域之类的都已经看过了,麻烦帮我简单阐释一下模[数学科目]

为了方便,我只写左模了,反正是有左模就有右模,等等.

简单地说,模是环上的线性空间.设R是一个环,它上的模M是一个交换群,这个群得运算记为+,同时还有一个运算R × M → M,可以看做数乘,对于所有r,s属于R,x,y属于M：

r(x + y) = rx + ry

(r + s)x = rx + sx

(rs)x = r(sx)

1x = x（1是环的乘法单位,如果有的话）.

诺特环是一种特别的环,它的理想满足升链条件,因为我不会打包含符号,我就用文字叙述了.设环R中有一系列的理想,I1, I2, I3,...,每一个都是后一个的子集,升链条件说的是,存在一个数n,使得In=I(n+1)=.

数学里有不少都叫谱,不知道你问的是什么,不过一般指在数学分析里出现的概念.如果是和代数几何相关的概念,可能指的是下面说的.简单地说,一个交换环的谱就是这个环里所有的素理想,它们构成一个拓扑空间（Zariski拓扑）.如果再结合它的结构层,就是仿射概型的概念.