方程,函数,两个

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（1）证明：由f_n（n）=n 得 y=f_n（x）图象右端点的坐标为（n，n），
由f_n+1（n）=n得 y=f_n+1（x）图象左端点的坐标为（n，n），故两端点重合． （2分）
并且对 n∈N^*，这些点在直线y=x上．（4分）
（2）由题设及（1）的结论，两个函数图象有且仅有一个公共点，即方程-（x-n）²+n=k_n?x在 满足n-1≤x≤n的区间上有两个相等的实数根．
整理方程得 x²+（k_n-2n）x+n²-n=0，
由△=

( k

n

?2n)

2

-4（n²-n）=0，解得 k_n=2n±2

n 2 ?n

，（8分）
此时方程的两个实数根x₁，x₂相等，由 x₁+x₂=2n-k_n，
得 x₁=x₂=

2n? k n

2

=[2n±2

n 2 ?n

]=m

n 2 ?n

，
因为 n-1≤x₁=x₂≤n，所以只能 k_n=2n-2

n 2 ?n

，（n≥2，n∈N^*）．（10分）
（3）当n≥2时，求得 k_n=2n-2

n 2 ?n

=

2n

n+ n 2 ?n

=

2

1+ 1? 1 n

，
可得 1＜k_n＜2，且k_n单调递减． （14分）
①当n≥3时，对于2≤i≤n-1，总有1＜k_n＜k_i，亦即直线y=k_nx与函数f_i（x）的图象总有两个不同的公共点（直线y=k_nx在直线y=x与直线y=k_i x之间）．
对于函数f_i（x）来说，因为 1＜k_n＜2，所以方程 k_n?x=f_i（x）有两个x₁=0，x₂=2-k_n∈（0，1）．
此时方程f（x）=k_n?x（ 0≤x≤n，n∈N^*）的实数解的个数为2（n-1）+1=2n-1．（16分）
②当n=2时，因为1＜k₂＜2，所以方程 k₂x=f_i（x）有两个解．此时方程f（x）=k₂x．
（0≤x≤2）的实数解的个数为3． （17分）
综上，当n≥2，n∈N^*时，方程 f（x）=k_n?x（ 0≤x≤n，n∈N^*）的实数解的个数为2n-1． （18分）