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优质解答

立方图形

立体几何公式

名称 符号 面积S 体积V

正方体 a——边长 S＝6a＾2 V＝a＾3

长方体 a——长 S＝2(ab+ac+bc) V＝abc

b——宽

c——高

棱柱 S——底面积 V＝Sh

h——高

棱锥 S——底面积 V＝Sh／3

h——高

棱台 S1和S2——上、下底面积 V＝h〔S1＋S2＋√（S1＾2）／2〕／3

h——高

拟柱体 S1——上底面积 V＝h（S1＋S2＋4S0）／6

S2——下底面积

S0——中截面积

h——高

圆柱 r——底半径 C＝2πr V＝S底h=∏rh

h——高

C——底面周长

S底——底面积 S底＝πR＾2

S侧——侧面积 S侧＝Ch

S表——表面积 S表＝Ch＋2S底

S底＝πr＾2

空心圆柱 R——外圆半径

r——内圆半径

h——高 V＝πh(R＾2-r＾2)

直圆锥 r——底半径

h——高 V＝πr＾2h/3

圆台 r——上底半径

R——下底半径

h——高 V＝πh(R＾2＋Rr＋r＾2)/3

球 r——半径

d——直径 V＝4/3πr＾3＝πd＾2/6

球缺 h——球缺高

r——球半径

a——球缺底半径 a＾2＝h(2r-h) V＝πh(3a＾2+h＾2)/6 ＝πh2(3r-h)/3

球台 r1和r2——球台上、下底半径

h——高 V＝πh[3(r12＋r22)+h2]/6

圆环体 R——环体半径

D——环体直径

r——环体截面半径

d——环体截面直径 V＝2π＾2Rr＾2 ＝π＾2Dd＾2/4

桶状体 D——桶腹直径

d——桶底直径

h——桶高 V＝πh(2D＾2＋d2＾)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心)

V＝πh(2D＾2＋Dd＋3d＾2/4)/15 (母线是抛物线形)

其他类似问题

问题1：高中数学人教版A版必修2立体几何问题.如图所示,在正方体ABCD — A1B1C1D1中,E、F分别为侧面ADD1A1、BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上投影可能是图中的_______.（图片看得清吧.）[数学科目]

正视图B(E、F为中点)

俯视图B(E、F为中点)

左视图C

所以选BC

问题2：高中数学人教版必修4所有公式

公式一：

设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

诱导公式记忆口诀

※规律总结※

上面这些诱导公式可以概括为：

对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值,

①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变；

②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

（奇变偶不变）

然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号.

（符号看象限）

例如：

sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α),k＝4为偶数,所以取sinα.

当α是锐角时,2π－α∈(270°,360°),sin(2π－α)＜0,符号为“－”.

所以sin(2π－α)＝－sinα

上述的记忆口诀是：

奇变偶不变,符号看象限.

公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α（k∈Z）,-α、180°±α,360°-α

所在象限的原三角函数值的符号可记忆

水平诱导名不变；符号看象限.

各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．

这十二字口诀的意思就是说：

第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；

第二象限内只有正弦是“＋”,其余全部是“－”；

第三象限内切函数是“＋”,弦函数是“－”；

第四象限内只有余弦是“＋”,其余全部是“－”．

其他三角函数知识：

同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

tanα ·cotα＝1

sinα ·cscα＝1

cosα ·secα＝1

商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

平方关系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝1

1＋tan^2(α)＝sec^2(α)

1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

同角三角函数关系六角形记忆法

六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）

构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型.

（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；

（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积.

（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）.由此,可得商数关系式.

（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方.

两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————

1－tanα ·tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα ·tanβ

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα

tan2α＝—————

1－tan^2(α)

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα

sin^2(α/2)＝—————

2

1＋cosα

cos^2(α/2)＝—————

2

1－cosα

tan^2(α/2)＝—————

1＋cosα

万能公式

⒌万能公式

2tan(α/2)

sinα＝——————

1＋tan^2(α/2)

1－tan^2(α/2)

cosα＝——————

1＋tan^2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝——————

1－tan^2(α/2)

万能公式推导

附推导：

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α)).*,

（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）

再把*分式上下同除cos^2(α),可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α))

然后用α/2代替α即可.

同理可推导余弦的万能公式.正切的万能公式可通过正弦比余弦得到.

三倍角公式

⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

3tanα－tan^3(α)

tan3α＝——————

1－3tan^2(α)

三倍角公式推导

附推导：

tan3α＝sin3α/cos3α

＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α),得：

tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα

＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα

＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)

＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα

＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)

＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))

＝4cos^3(α)－3cosα

即

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

三倍角公式联想记忆

记忆方法：谐音、联想

正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数),所以要“挣钱”(音似“正弦”)）

余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完之后还有“余”）

☆☆注意函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示.

和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

α＋β α－β

sinα＋sinβ＝2sin—----·cos—---

2 2

α＋β α－β

sinα－sinβ＝2cos—----·sin—----

2 2

α＋β α－β

cosα＋cosβ＝2cos—-----·cos—-----

2 2

α＋β α－β

cosα－cosβ＝－2sin—-----·sin—-----

2 2

积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式

sinα ·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

cosα ·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]

cosα ·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

sinα ·sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]

和差化积公式推导

附推导：

首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

向量的运算

加法运算

AB＋BC＝AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则.

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB,则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则.

对于零向量和任意向量a,有：0＋a＝a＋0＝a.

|a＋b|≤|a|＋|b|.

向量的加法满足所有的加法运算定律.

减法运算

与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,－(－a)＝a,零向量的相反向量仍然是零向量.

（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b).

数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,|λa|＝|λ||a|,当λ > 0时,λa的方向和a的方向相同,当λ < 0时,λa的方向和a的方向相反,当λ = 0时,λa = 0.

设λ、μ是实数,那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ + μ)a = λa + μa（3）λ(a ± b) = λa ± λb（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a).

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算.

向量的数量积

已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积,记作a?b,θ是a与b的夹角,|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.零向量与任意向量的数量积为0.

a?b的几何意义：数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

问题3：高中数学立体几何等积公式[数学科目]

1．集合元素具有①确定性②互异性③无序性

2．集合表示方法①列举法 ②描述法

③韦恩图 ④数轴法

3．集合的运算

⑴ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

⑵ Cu(A∩B)=CuA∪CuB

Cu(A∪B)=CuA∩CuB

4．集合的性质

⑴n元集合的子集数：2n

真子集数：2n-1；非空真子集数：2n-2

高中数学概念总结

一、 函数

1、 若集合A中有n 个元素,则集合A的所有不同的子集个数为 ,所有非空真子集的个数是 .

二次函数 的图象的对称轴方程是 ,顶点坐标是 .用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式,即 , 和 （顶点式）.

2、 幂函数 ,当n为正奇数,m为正偶数,m

3、 函数 的大致图象是

由图象知,函数的值域是 ,单调递增区间是 ,单调递减区间是 .

二、 三角函数

1、 以角 的顶点为坐标原点,始边为x轴正半轴建立直角坐标系,在角 的终边上任取一个异于原点的点 ,点P到原点的距离记为 ,则sin = ,cos = ,tg = ,ctg = ,sec = ,csc = .

2、同角三角函数的关系中,平方关系是： , , ；

倒数关系是： , , ；

相除关系是： , .

3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变,符号看象限.如： , = , .

4、 函数 的最大值是 ,最小值是 ,周期是 ,频率是 ,相位是 ,初相是 ；其图象的对称轴是直线 ,凡是该图象与直线 的交点都是该图象的对称中心.

5、 三角函数的单调区间：

的递增区间是 ,递减区间是 ； 的递增区间是 ,递减区间是 , 的递增区间是 , 的递减区间是 .

6、

7、二倍角公式是：sin2 =

cos2 = = =

tg2 = .

8、三倍角公式是：sin3 = cos3 =

9、半角公式是：sin = cos =

tg = = = .

10、升幂公式是： .

11、降幂公式是： .

12、万能公式：sin = cos = tg =

13、sin( )sin( )= ,

cos( )cos( )= = .

14、 = ；

= ；

= .

15、 = .

16、sin180= .

17、特殊角的三角函数值：

0

sin 0 1 0

cos 1 0 0

tg 0 1 不存在 0 不存在

ctg 不存在 1 0 不存在 0

18、正弦定理是（其中R表示三角形的外接圆半径）：

19、由余弦定理第一形式, =

由余弦定理第二形式,cosB=

20、△ABC的面积用S表示,外接圆半径用R表示,内切圆半径用r表示,半周长用p表示则：

① ；② ；

③ ；④ ；

⑤ ；⑥

21、三角学中的射影定理：在△ABC 中, ,…

22、在△ABC 中, ,…

23、在△ABC 中：

24、积化和差公式：

① ,

② ,

③ ,

④ .

25、和差化积公式：

① ,

② ,

③ ,

④ .

三、 反三角函数

1、 的定义域是[-1,1],值域是 ,奇函数,增函数；

的定义域是[-1,1],值域是 ,非奇非偶,减函数；

的定义域是R,值域是 ,奇函数,增函数；

的定义域是R,值域是 ,非奇非偶,减函数.

2、当 ；

对任意的 ,有：

当 .

3、最简三角方程的解集：

四、 不等式

1、若n为正奇数,由 可推出 吗? （ 能 ）

若n为正偶数呢? （ 均为非负数时才能）

2、同向不等式能相减,相除吗 （不能）

能相加吗? （ 能 ）

能相乘吗? （能,但有条件）

3、两个正数的均值不等式是：

三个正数的均值不等式是：

n个正数的均值不等式是：

4、两个正数 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

6、 双向不等式是：

左边在 时取得等号,右边在 时取得等号.

五、 数列

1、等差数列的通项公式是 ,前n项和公式是： = .

2、等比数列的通项公式是 ,

前n项和公式是：

3、当等比数列 的公比q满足 <1时, =S= .一般地,如果无穷数列 的前n项和的极限 存在,就把这个极限称为这个数列的各项和（或所有项的和）,用S表示,即S= .

4、若m、n、p、q∈N,且 ,那么：当数列 是等差数列时,有 ；当数列 是等比数列时,有 .

5、 等差数列 中,若Sn=10,S2n=30,则S3n=60；

6、等比数列 中,若Sn=10,S2n=30,则S3n=70；

六、 复数

1、 怎样计算?（先求n被4除所得的余数, ）

2、 是1的两个虚立方根,并且：

3、 复数集内的三角形不等式是： ,其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向（同向）时取等号,右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向（反向）时取等号.

4、 棣莫佛定理是：

5、 若非零复数 ,则z的n次方根有n个,即：

它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系?

都位于圆心在原点,半径为 的圆上,并且把这个圆n等分.

6、 若 ,复数z1、z2对应的点分别是A、B,则△AOB（O为坐标原点）的面积是 .

7、 = .

8、 复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：

① 轨迹为一条射线.

② 轨迹为一条射线.

③ 轨迹是一个圆.

④ 轨迹是一条直线.

⑤ 轨迹有三种可能情形：a)当 时,轨迹为椭圆；b)当 时,轨迹为一条线段；c)当 时,轨迹不存在.

⑥ 轨迹有三种可能情形：a)当 时,轨迹为双曲线；b) 当 时,轨迹为两条射线；c) 当 时,轨迹不存在.

七、 排列组合、二项式定理

1、 加法原理、乘法原理各适用于什么情形?有什么特点?

加法分类,类类独立；乘法分步,步步相关.

2、排列数公式是： = = ；

排列数与组合数的关系是：

组合数公式是： = = ；

组合数性质： = + =

= =

3、 二项式定理： 二项式的通项公式：

八、 解析几何

1、 沙尔公式：

2、 数轴上两点间距离公式：

3、 直角坐标平面内的两点间距离公式：

4、 若点P分有向线段 成定比λ,则λ=

5、 若点 ,点P分有向线段 成定比λ,则：λ= = ；

=

=

若 ,则△ABC的重心G的坐标是 .

6、求直线斜率的定义式为k= ,两点式为k= .

7、直线方程的几种形式：

点斜式： , 斜截式：

两点式： , 截距式：

一般式：

经过两条直线 的交点的直线系方程是：

8、 直线 ,则从直线 到直线 的角θ满足：

直线 与 的夹角θ满足：

直线 ,则从直线 到直线 的角θ满足：

直线 与 的夹角θ满足：

9、 点 到直线 的距离：

10、两条平行直线 距离是

11、圆的标准方程是：

圆的一般方程是：

其中,半径是 ,圆心坐标是

思考：方程 在 和 时各表示怎样的图形?

12、若 ,则以线段AB为直径的圆的方程是

经过两个圆

,

的交点的圆系方程是：

经过直线 与圆 的交点的圆系方程是：

13、圆 为切点的切线方程是

一般地,曲线 为切点的切线方程是： .例如,抛物线 的以点 为切点的切线方程是： ,即： .

注意：这个结论只能用来做选择题或者填空题,若是做解答题,只能按照求切线方程的常规过程去做.

14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种,即：

①判别式法：Δ>0,=0,<0,等价于直线与圆相交、相切、相离；

②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系：距离大于半径、等于半径、小于半径,等价于直线与圆相离、相切、相交.

15、抛物线标准方程的四种形式是：

16、抛物线 的焦点坐标是： ,准线方程是： .

若点 是抛物线 上一点,则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是： ,过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（称为通径）的长是： .

17、椭圆标准方程的两种形式是： 和

.

18、椭圆 的焦点坐标是 ,准线方程是 ,离心率是 ,通径的长是 .其中 .

19、若点 是椭圆 上一点, 是其左、右焦点,则点P的焦半径的长是 和 .

20、双曲线标准方程的两种形式是： 和

.

21、双曲线 的焦点坐标是 ,准线方程是 ,离心率是 ,通径的长是 ,渐近线方程是 .其中 .

22、与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是 .与双曲线 共焦点的双曲线系方程是 .

23、若直线 与圆锥曲线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为 ；

若直线 与圆锥曲线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为 .

24、圆锥曲线的焦参数p的几何意义是焦点到准线的距离,对于椭圆和双曲线都有： .

25、平移坐标轴,使新坐标系的原点 在原坐标系下的坐标是（h,k）,若点P在原坐标系下的坐标是 在新坐标系下的坐标是 ,则 = , = .

九、 极坐标、参数方程

1、 经过点 的直线参数方程的一般形式是： .

2、 若直线 经过点 ,则直线参数方程的标准形式是： .其中点P对应的参数t的几何意义是：有向线段 的数量.

若点P1、P2、P是直线 上的点,它们在上述参数方程中对应的参数分别是 则： ；当点P分有向线段 时, ；当点P是线段P1P2的中点时, .

3、圆心在点 ,半径为 的圆的参数方程是： .

3、 若以直角坐标系的原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,点P的极坐标为 直角坐标为 ,则 , , .

4、 经过极点,倾斜角为 的直线的极坐标方程是： ,

经过点 ,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是： ,

经过点 且平行于极轴的直线的极坐标方程是： ,

经过点 且倾斜角为 的直线的极坐标方程是： .

5、 圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程是 ；

圆心在点 的圆的极坐标方程是 ；

圆心在点 的圆的极坐标方程是 ；

圆心在点 ,半径为 的圆的极坐标方程是 .

6、 若点M 、N ,则 .

十、 立体几何

1、求二面角的射影公式是 ,其中各个符号的含义是： 是二面角的一个面内图形F的面积, 是图形F在二面角的另一个面内的射影, 是二面角的大小.

2、若直线 在平面 内的射影是直线 ,直线m是平面 内经过 的斜足的一条直线, 与 所成的角为 , 与m所成的角为 , 与m所成的角为θ,则这三个角之间的关系是 .

3、体积公式：

柱体： ,圆柱体： .

斜棱柱体积： （其中, 是直截面面积, 是侧棱长）；

锥体： ,圆锥体： .

台体： , 圆台体：

球体： .

4、 侧面积：

直棱柱侧面积： ,斜棱柱侧面积： ；

正棱锥侧面积： ,正棱台侧面积： ；

圆柱侧面积： ,圆锥侧面积： ,

圆台侧面积： ,球的表面积： .

5、几个基本公式：

弧长公式： （ 是圆心角的弧度数, >0）；

扇形面积公式： ；

圆锥侧面图（扇形）的圆心角公式： ；

圆台侧面图（扇环）的圆心角公式： .

经过圆锥顶点的最大截面的面积为（圆锥的母线长为 ,轴截面顶角是θ）：

十一、比例的几个性质

1、比例基本性质：

2、反比定理：

3、更比定理：

5、 合比定理；

6、 分比定理：

7、 合分比定理：

8、 分合比定理：

9、 等比定理：若 , ,则 .

十二、复合二次根式的化简

当 是一个完全平方数时,对形如 的根式使用上述公式化简比较方便.

⑵并集元素个数：

n(A∪B)=nA+nB-n(A∩B)

5．N 自然数集或非负整数集

Z 整数集 Q有理数集 R实数集

6．简易逻辑中符合命题的真值表

p 非p

真 假

假 真

二．函数

1．二次函数的极点坐标：

函数 的顶点坐标为

2．函数 的单调性：

在 处取极值

3．函数的奇偶性：

在定义域内,若 ,则为偶函数；若 则为奇函数.

问题4：求人教版高中数学必修一最后一章的公式.[数学科目]

1.函数的零点

(1)一般地,如果函数在实数a处的值为0,即,则a叫做这个函数的零点．

(2)对于任意函数,只要它的图象是连续不间断的,其函数的零点具下列性质：

①当它通过零点（不是偶次零点）时函数值符号改变；

②相邻两个零点之间的所有的函数值保持符号不变.

（3）函数零点的性质是研究方程根的分布问题的基础,是通过对二次函数的零点的研究而推出的,是由特殊到一般的思想方法.

2.二分法

(1) 已知函数在区间[a,b]上是连续的,且,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,从而得到零点的近似值的方法,叫做二分法.

(2)二分法定义的基础,是函数零点的性质；二分法定义本身给出了求函数零点近似值的步骤．只要按步就班地做下去,就能求出给定精确度的函数零点．

（3）二分法求函数零点的近似值的步骤,渗透了算法思想与程序化意识．此步骤本身就是一个解题程序.这种程序化思想在计算机上得到了广泛的应用．

3.常用的几类函数模型

(1)一次函数模型：；

(2)反比例函数模型：；

(3)二次函数模型：；

(4)指数函数模型：；

(5)对数函数模型：；

(6)幂函数模型：.

（二）图象变换

1.作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法.掌握这两种方法是本节的重点．运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处,要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换．这也是个难点．

作函数图象的步骤：

①确定函数的定义域；

②化简函数的解析式；

③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；

④描点连线,画出函数的图象.

2．所谓图象的几何变换法,就是把常见函数图象与图象几何变换的知识结合起来而获得函数图象的一种重要的途径.

函数图象的变换包括四种：平移变换、伸缩变换、对称变换以及绝对值变换.

1.平移变换

由y=f(x)→y=f(x+a)+b,分为横向平移与纵向平移.

（1）横向平移：由y=f(x)→y=f(x+a)

把y=f(x)的图象上各点沿x轴平移|a|个单位；当a＞0时,向左平移；当a＜0时向右平移.

（2）纵向平移：由y=f(x)→y=f(x)+b

把y=f(x)的图象上各点沿y轴平移|b|个单位；当b＞0时,向上移动；当b＜0时,向下移动.

2.伸缩变换

由y=f(x)→y=Af(wx) (A＞0,w＞0) 分为横向与纵向伸缩,其变换过程可表示为：

y=f(x)

y=Af(wx)

3.对称变换

包括关于x轴,y轴,原点,y=x直线对称.

（1）关于x轴对称：y=f(x)与y=-f(x),其解析式的特征是：用-y代y,解析式能由一个变成另一个.

（2）关于y轴对称：y=f(x)与y=f(-x),其解析式的特征是：用-x代x,解析式能一个变成另一个.

（3）关于原点对称：y=f(x)与y=-f(-x),其解析式的特征是：用-x,-y分别代x,y,解析式能由一个变成另一个.

（4）关于直线y=x直线对称：y=f(x)与y=f-1(x),其解析式的特征是：用x代y,用y代x,解析式能由一个变成另一个.

4.绝对值变换有两种：y=|f(x)|与y=f(|x|)

（1）由y=f(x)→y=|f(x)|

由绝对值的意义有：

因此,几何变换的程序可以设计如下：

①留住x轴上方的图象

②翻折：将x轴下方的图象沿x轴对称上去

③去掉x轴下方的图象

（2）由y=f(x)→y=f(|x|)

由绝对值的意义有：

因此,可将这种几何变换设计为：

① 留住y轴右侧的图象

② 去掉y轴左侧的图象

③ 翻折：将y轴右侧的图象沿y轴对称到y轴左侧.

2.幂函数随着的取值不同,它们的定义域、性质和图象也不尽相同,但它们有一些共同的性质：

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1)；

(2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数．特别地,当时,幂函数的

图象下凸；当时,幂函数的图象上凸；

(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象

在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

3.作幂函数图象的步骤如下:

(1)先作出第一象限内的图象；

(2)若幂函数的定义域为(0,+∞)或[0,+∞),作图已完成；

若在(-∞,0)或(-∞,0]上也有意义,则应先判断函数的奇偶性

如果为偶函数,则根据y轴对称作出第二象限的图象；

如果为奇函数,则根据原点对称作出第三象限的图象.

1. 平移变换：

2. 对称变换：

①整体对称：

②局部对称：

3. 伸缩变换：

4. 互为反函数的两个函数的图像关于直线y=x对称.

下面我们研究两种变换是如何进行的：

（1）

（2）

(1)先伸缩再平移：y=sinx图像上每点的纵坐标不变,横坐标变为原来的一半得到y=sin2x的图像,再把y=sin2x的图像向左平移个单位得到

(2)先平移再伸缩：把y=sinx的图像向左平移个单位得到的图像,再把图像上每一点的纵坐标不变,横坐标变为原来的一半得到的图像.

（1）

（2）

(1)先对称再平移：y=f(x)的图像关于y轴对称后得到y=f(-x)的图像,再把f(-x)的图像向右平移1个单位得到y=f(-x+1)的图像；

(2)先平移再对称：把y=f(x)的图像向左平移1个单位得到y=f(x+1)的图像,再把y=f(x+1)的图像关于y轴对称后得到y=f(-x+1)的图像.

一些抽象函数关系是所表示的函数性质： 一个函数本身具有的性质 两个函数具有的性质

f(1+x)=f(1-x) y=f(1+x)与y=f(1-x)

这个函数的图像关于直线x=1对称 这两个函数的图像关于y轴对称

f(x+1)=f(x-1) y=f(x+1)与y=f(x-1)

这个函数是周期为2的周期函数 这两个函数的图像相差两个单位(平移)

f(x-1)=f(1-x) y=f(x-1)与y=f(1-x)

这个函数是偶函数 这两个函数的图像关于直线x=1对称

问题5：高中数学三角函数和立体几何公式立体几何要 线线平行 垂直面面平行 垂直线面平行 垂直的判断依据[数学科目]

高中立体几何梳理(看完立几无难题!)

基本概念

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内.

公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.

公理3： 过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面.

推论1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.

推论2：经过两条相交直线,有且只有一个平面.

推论3：经过两条平行直线,有且只有一个平面.

公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.

空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面

1、按是否共面可分为两类：

（1）共面： 平行、 相交

（2）异面：

异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交.

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线.

两异面直线所成的角：范围为 ( 0°,90° ) esp.空间向量法

两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法

2、若从有无公共点的角度看可分为两类：

（1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点—— 平行或异面

直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行

①直线在平面内——有无数个公共点

②直线和平面相交——有且只有一个公共点

直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角.

esp.空间向量法(找平面的法向量)

规定：a、直线与平面垂直时,所成的角为直角,b、直线与平面平行或在平面内,所成的角为0°角

由此得直线和平面所成角的取值范围为 [0°,90°]

最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角

三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直

esp.直线和平面垂直

直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线a和平面 互相垂直.直线a叫做平面 的垂线,平面 叫做直线a的垂面.

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.

③直线和平面平行——没有公共点

直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点,那么我们就说这条直线和这个平面平行.

直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.

直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.

两个平面的位置关系：

（1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点

（2）两个平面的位置关系：

两个平面平行-----没有公共点； 两个平面相交-----有一条公共直线.

a、平行

两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么交线平行.

b、相交

二面角

（1） 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分,其中每一个部分叫做半平面.

（2） 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.二面角的取值范围为 [0°,180°]

（3） 二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱.

（4） 二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面.

（5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

（6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角.

esp. 两平面垂直

两平面垂直的定义：两平面相交,如果所成的角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.记为 ⊥

两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直

两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.

Attention：

二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法（注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系）

多面体

棱柱

棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每两个四边形的公共边都互相平行,这些面围成的几何体叫做棱柱.

棱柱的性质

（1）侧棱都相等,侧面是平行四边形

（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形

（3）过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形

棱锥

棱锥的定义：有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,这些面围成的几何体叫做棱锥

棱锥的性质：

（1） 侧棱交于一点.侧面都是三角形

（2） 平行于底面的截面与底面是相似的多边形.且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方

正棱锥

正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形,并且顶点在底面内的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥.

正棱锥的性质：

（1）各侧棱交于一点且相等,各侧面都是全等的等腰三角形.各等腰三角形底边上的高相等,它叫做正棱锥的斜高.

（3） 多个特殊的直角三角形

esp： a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥,由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心.

b、四面体中有三对异面直线,若有两对互相垂直,则可得第三对也互相垂直.且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心.

Attention：

1、 注意建立空间直角坐标系

2、 空间向量也可在无坐标系的情况下应用

多面体欧拉公式：V（角）+F（面）-E（棱）=2

正多面体只有五种：正四、六、八、十二、二十面体.

球

attention：

1、 球与球面积的区别

2、 经度（面面角）与纬度（线面角）

3、 球的表面积及体积公式

4、 球内两平行平面间距离的多解性