(2010？海淀区二模)给定椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，...

精选知识

（I）因为c＝2，a＝3，所以b=1
所以椭圆的方程为x23+y2＝1，
准圆的方程为x²+y²=4．
（II）（1）因为准圆x²+y²=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），
设过点P（0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，
所以y＝kx+2x23+y2＝1，消去y，得到（1+3k²）x²+12kx+9=0，
因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点，
所以△=144k²-4×9（1+3k²）=0，
解得k=±1．
所以l₁，l₂方程为y=x+2，y=-x+2．

（2）①当l₁，l₂中有一条无斜率时，不妨设l₁无斜率，
因为l₁与椭圆只有一个公共点，则其方程为x＝3或x＝?3，
当l₁方程为x＝3时，此时l₁与准圆交于点(3，1)，(3，?1)，
此时经过点(3，1)（或(3，?1)）且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=-1），即l₂为y=1（或y=-1），显然直线l₁，l₂垂直；
同理可证l₁方程为x＝?3时，直线l₁，l₂垂直．
②当l₁，l₂都有斜率时，设点P（x₀，y₀），其中x₀²+y₀²=4，
设经过点P（x₀，y₀）与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x-x₀）+y₀，
则y＝tx+(y0?tx0)x23+y2＝1，消去y得到x²+3（tx+（y₀-tx₀））²-3=0，
即（1+3t²）x²+6t（y₀-tx₀）x+3（y₀-tx₀）²-3=0，△=[6t（y₀-tx₀）]²-4?（1+3t²）[3（y₀-tx₀）²-3]=0，
经过化简得到：（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+1-y₀²=0，
因为x₀²+y₀²=4，所以有（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+（x₀²-3）=0，
设l₁，l₂的斜率分别为t₁，t₂，因为l₁，l₂与椭圆都只有一个公共点，
所以t₁，t₂满足上述方程（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+（x₀²-3）=0，
所以t₁?t₂=-1，即l₁，l₂垂直．
综合①②知：因为l₁，l₂经过点P（x₀，y₀），又分别交其准圆于点M，N，且l₁，l₂垂直，
所以线段MN为准圆x²+y²=4的直径，所以|MN|=4．