麦克斯韦速率分布_平衡气体为什么沿麦克斯韦速率分布函数分布？[数学]

精选知识

亲爱的楼主：

根据麦克斯韦在1859年发表的论文《气体动力理论的说明》,速度分布率和速率分布率的推导过程大致如下：

设总粒子数为N,粒子速度在x,y,z三个方向的分量分别为v(x),v(y),v(z).

(1)以dNv(x)表示速度分量v(x)在v(x)到v(x)+dv(x)之间的粒子数,则一个粒子在此dv(x)区间出现的概率为dNv(x)/N.粒子在不同的v(x)附近区间dv(x)内出现的概率不同,用分布函数g(v(x))表示在单位v(x)区间粒子出现的概率,则应有

dNv(x)/N=g(v(x))dv(x)

系统处于平衡态时,容器内各处粒子数密度n相同,粒子朝任何方向运动的概率相等.因此相应于速度分量v(y),v(z),也应有相同形式的分布函数g(v(y)),g(v(z)),使得相应的概率可表示为

dNv(y)/N=g(v(y))dv(y)

dNv(z)/N=g(v(z))dv(z)

(2)假设上述三个概率是彼此独立的,又根据独立概率相乘的概率原理,得到粒子出现在v(x)到v(x)+dv(x),v(y)到v(y)+dv(y),v(z)到v(z)+dv(z)间的概率为

dNv/N=g(v(x))g(v(y))g(v(z))dv(x)dv(y)dv(z)=Fdv(x)dv(y)dv(z)

式中F=g(v(x))g(v(y))g(v(z)),即为速度分布函数.

(3)由于粒子向任何方向运动的概率相等,所以速度分布应与粒子的速度方向无关.因而速度分布函数应只是速度大小v=√(v(x)2+v(y)2+v(z)2)的函数.这样,速度分布函数就可以写成下面的形式：

g(v(x))g(v(y))g(v(z))=F(v(x)2+v(y)2+v(z)2)

要满足这一关系,函数g(v(x))应具有C*exp(A*v(x)^2)的形式.因此可得

F=C*exp(A*v(x)2)*C*exp(A*v(y)2)*C*exp(A*v(z)2)=C3exp(Av2)

下面来定常数C及A.考虑到具有无限大速率的粒子出现的概率极小,故A应为负值.令A=-1/α2,则

dNv/N=C3exp(-v2/α2)dv(x)dv(y)dv(z)=C3exp[-(v(x)2+v(y)2+v(z)2)/α2]dv(x)dv(y)dv(z)

由于粒子的速率在从-∞到+∞的全部速率区间内出现的概率应等于1,即分布函数应满足归一化条件,所以

∫dNv/N=C3∫exp(-v(x)2/α2)dv(x)∫exp(-v(y)2/α2)dv(y)∫exp(-v(z)2/α2)dv(z)=C3√(πα2)3=1,

可得C=1/(α√π),从而得到麦克斯韦速度分布律：

dNv/N=(α√π)￣3exp(-v2/α2)dv(x)dv(y)dv(z)=(α√π)￣3exp[-(v(x)2+v(y)2+v(z)2)/α2]dv(x)dv(y)dv(z)

(4)由上式还可导出速率分布律.可以设想一个用三个相互垂直的轴分别表示v(x),v(y),v(z)的“速度空间”.在这一空间内从原点到任一点(v(x),v(y),v(z))的连线都代表一个粒子可能具有的速度.由于速率分布与速度的方向无关,所以粒子的速率出现在同一速率v处的速率区间dv内的概率相同.这一速率区间是半径为v,厚度为dv的球壳,其总体积为4πv2dv,从而可得粒子的速率在v到v+dv区间出现的概率为

dNv/N=4π(α￣3/√π)exp(-v2/α2)v2dv

(5)确定常数α.由上式可求出粒子速率平方的平均值为

=∫v2*4π(α￣3/√π)exp(-v2/α2)v2dv=1.5α2,

而由压强微观公式p=nm/3和理想气体状态方程pV=NkT=nVkT得

=3kT/m,故α2=2kT/m,

从而可得速度分布率

F(v)=dNv/(Ndv(x)dv(y)dv(z))=√(m/2πkT)3exp(-mv2/2kT)

和速率分布率

f(v)=dNv/(Ndv)=4π√(m/2πkT)3v2exp(-mv2/2kT),

沿x方向的速度分量v(x)的分布率应为

g(v(x))=dNv/(Ndv(x))=√(m/2πkT)exp(-mv(x)2/2kT).

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问题1：麦克斯韦气体速率分布函数.麦克斯韦是怎样推出气体速率分布函数的?（要有具体的式子来说明,一定要具体!）[数学科目]

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根据麦克斯韦在1859年发表的论文《气体动力理论的说明》,速度分布率和速率分布率的推导过程大致如下：

设总粒子数为N,粒子速度在x,y,z三个方向的分量分别为v(x),v(y),v(z).

(1)以dNv(x)表示速度分量v(x)在v(x)到v(x)+dv(x)之间的粒子数,则一个粒子在此dv(x)区间出现的概率为dNv(x)/N.粒子在不同的v(x)附近区间dv(x)内出现的概率不同,用分布函数g(v(x))表示在单位v(x)区间粒子出现的概率,则应有

dNv(x)/N=g(v(x))dv(x)

系统处于平衡态时,容器内各处粒子数密度n相同,粒子朝任何方向运动的概率相等.因此相应于速度分量v(y),v(z),也应有相同形式的分布函数g(v(y)),g(v(z)),使得相应的概率可表示为

dNv(y)/N=g(v(y))dv(y)

dNv(z)/N=g(v(z))dv(z)

(2)假设上述三个概率是彼此独立的,又根据独立概率相乘的概率原理,得到粒子出现在v(x)到v(x)+dv(x),v(y)到v(y)+dv(y),v(z)到v(z)+dv(z)间的概率为

dNv/N=g(v(x))g(v(y))g(v(z))dv(x)dv(y)dv(z)=Fdv(x)dv(y)dv(z)

式中F=g(v(x))g(v(y))g(v(z)),即为速度分布函数.

(3)由于粒子向任何方向运动的概率相等,所以速度分布应与粒子的速度方向无关.因而速度分布函数应只是速度大小v=√(v(x)²+v(y)²+v(z)²)的函数.这样,速度分布函数就可以写成下面的形式：

g(v(x))g(v(y))g(v(z))=F(v(x)²+v(y)²+v(z)²)

要满足这一关系,函数g(v(x))应具有C*exp(A*v(x)^2)的形式.因此可得

F=C*exp(A*v(x)²)*C*exp(A*v(y)²)*C*exp(A*v(z)²)=C³exp(Av²)

下面来定常数C及A.考虑到具有无限大速率的粒子出现的概率极小,故A应为负值.令A=-1/α²,则

dNv/N=C³exp(-v²/α²)dv(x)dv(y)dv(z)=C³exp[-(v(x)²+v(y)²+v(z)²)/α²]dv(x)dv(y)dv(z)

由于粒子的速率在从-∞到+∞的全部速率区间内出现的概率应等于1,即分布函数应满足归一化条件,所以

∫dNv/N=C³∫exp(-v(x)²/α²)dv(x)∫exp(-v(y)²/α²)dv(y)∫exp(-v(z)²/α²)dv(z)=C³√(πα²)³=1,

可得C=1/(α√π),从而得到麦克斯韦速度分布律：

dNv/N=(α√π)￣³exp(-v²/α²)dv(x)dv(y)dv(z)=(α√π)￣³exp[-(v(x)²+v(y)²+v(z)²)/α²]dv(x)dv(y)dv(z)

(4)由上式还可导出速率分布律.可以设想一个用三个相互垂直的轴分别表示v(x),v(y),v(z)的“速度空间”.在这一空间内从原点到任一点(v(x),v(y),v(z))的连线都代表一个粒子可能具有的速度.由于速率分布与速度的方向无关,所以粒子的速率出现在同一速率v处的速率区间dv内的概率相同.这一速率区间是半径为v,厚度为dv的球壳,其总体积为4πv²dv,从而可得粒子的速率在v到v+dv区间出现的概率为

dNv/N=4π(α￣³/√π)exp(-v²/α²)v²dv

(5)确定常数α.由上式可求出粒子速率平方的平均值为

=∫v²*4π(α￣³/√π)exp(-v²/α²)v²dv=1.5α²,

而由压强微观公式p=nm/3和理想气体状态方程pV=NkT=nVkT得

=3kT/m,故α²=2kT/m,

从而可得速度分布率

F(v)=dNv/(Ndv(x)dv(y)dv(z))=√(m/2πkT)³exp(-mv²/2kT)

和速率分布率

f(v)=dNv/(Ndv)=4π√(m/2πkT)³v²exp(-mv²/2kT),

沿x方向的速度分量v(x)的分布率应为

g(v(x))=dNv/(Ndv(x))=√(m/2πkT)exp(-mv(x)²/2kT).

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w是为了方便计算而引入的,相当于数学上的变量代换.可以不引入,计算方法如下：

麦克斯韦速率分布函数为

f(v) = 4π（m/(2πkT)）^(3/2) exp(-mv^2/(2kT)) v^2

vp = (2kT/m)^(1/2),另外上式中的v也在vp附近,所以上式可写成

f(vp) = 4/√π vp^(-3) exp(-1) vp^2 = 4/√π exp(-1) / vp

ΔN/N = f(vp) Δv = 4/√π exp(-1) Δv / vp = 4/√π exp(-1) 2%

= 1.66 %

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