开普勒的R^3T^2=K是怎么得来的？

精选知识

用角动量守恒,

首先推导开普勒的第二定律：

L = r^2 * w *m ,L是卫星角动量,r是距离,那么dS/dt=1/2*dt*w*r*r/dt=1/2*w*r^2

所以：dS/dt = L/2m

然后推导第三定律：

根据椭圆的几何性质可知:

卫星在近地点和远地点卫星运动方向必然与万有引力方向垂直,在这两点:

r1 = (1-e)*R

r2 = (1+e)*R

设运动速度分别是v1,v2.

角动量分别是：

L = m*v1*r1 (1)

L= m*v2*r2 (2)

又由能量守恒可知：

-GMm/r1+1/2*m*v1^2=-GMm/r2+1/2*m*v2^2 (3)

由（1）（2）（3）推得：

L = m * sqrt(GMR(1-e^2))

由开普勒第二定律可知,周期T

T = pi *a*b/(L/2m)= 2*pi*R^(3/2)/(sqrt(GM))

这个公式经过变化得：

R^3/T^2 = GM /(4*pi^2)

公式比较多,希望你能够看的懂.

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开普勒的r^3/t^2=k是怎么得来的?

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问题1：根据开普勒第三定律,在太阳系中K具体是多少希望写出表达式,并指出表达式中的字母各指什么,各为多少.[物理科目]

开普勒第三定律也称调和定律.1619年,开普勒（Kepler）出版了《宇宙的和谐》一书,在书中介绍了第三定律.

若用R代表椭圆轨道的半长轴,T代表公转周期,则

（R^3)/(T^2)=k=GM/(4π^2)（M为中心天体质量）

比值k是一个与行星无关的常量,只与中心体质量有关,M相同则K值相同.R1:R2=(T1:T2)^2/3

T1:T2=(R1:R2)^3/2

把星球作的运动看成圆周运动.这时,万有引力充当向心力.用质量,角速度,轨道半径表示出向心力,这样就可以写出一个方程.再将方程中的角速度用周期,圆周率表示.再用绕同一中心天体运的星体列一个方程,两式相比就可证明开普勒第三定律:

万有引力F＝GMm/（R*R）（1）

向心力Fn＝mv*v/R（2）

（1）＝（2）,求出v*v＝GM/R（3）

又T*T＝[2*3.14159*R/（v*v）][2*3.14159*R]（4）

将（3）代入（4）即可

R^3/T^2=K=GM/4π^2=RRR/TT

R或a=行星公转轨道半长轴

T=行星公转周期

K=常数=GM/4π^2

问题2：开普勒行星第三定律中的这个公式：r^3/T^2=k为什么与行星无关而与太阳质量有关 有一个人的解释如图： 但是在推导(GMm)/r^2=F引 的时[物理科目]

爱因斯坦广义相对论里认为万有引力的本质其实是大质量物质对周围时空产生或大或小的时空扭曲,所以K应该是一个与时空扭曲程度有关的量,在万有引力定律里,这个式子表征的,就是对这种扭曲的数式上比较好的拟合.说白了,这个式子不是完美的精确.而开普勒第三定律,则很幸运的是一则实验演算出来的准确式子.

你问的问题,是要研究恒星对行星的引力,第一物主是大质量恒星,行星对它的时空扭曲可以忽略,所以,认为K只与恒星（太阳）有关系.

问题3：开普勒第三定律R^3/T^2=k中"k"的值为GM/4π^2,是怎么来的?[物理科目]

万有引力定律：

F=GMm/R^2

对圆轨道来说：引力就是向心力,所以：

mW^2*R=GMm/R^2 W是角速度.

R^3*W^2=MG

由：4π^2/T^2=W^2

得：

4π^2*R^3/T^2=MG

即：4π^2*k=MG

k=GM/(4π^2)

问题4：根据开普勒第三定律T^2=K*R^3 根据匀速圆周运动得出T=根号下（4π^2*r^3/GM）这两个公式有什么不同其中的K和M在什么情况下会改变?他们有什么关系?[物理科目]

其实都是T平方与半径R立方之间的关系,T=√（4π^2*r^3/GM）平方就是T=4π^2*r^3/GM,对比T^2=K*R^3 ,则有K=4π^2/(GM),因此K是一个与M即中心天体有关的系数.

问题5：开普勒第三定律中周期（T）的单位是什么R3/T2=K中T的单位是秒还是年还是什么..[物理科目]

没有具体的单位

秒,年均可