∫√(a^2-x^2)dx=？

精选知识

令x = asinz,dx = acosz dz

∫ √(a^2 - x^2) dx

= ∫ (acosz)(acosz) dz

= a^2/2 ? ∫ (1 + cos2z) dz

= a^2/2 ? [z + (sin2z)/2] + C

= (a^2/2)arcsin(x/a) + (a^2/2)sinzcosz + C

= (a^2/2)arcsin(x/a) + (a^2/2)(x/a)√(a^2 - x^2)/a + C

= (a^2/2)arcsin(x/a) + (x/2)√(a^2 - x^2) + C

= (1/2)[a^2arcsin(x/a) + x√(a^2 - x^2)] + C

其他回答

x/2√(a^2-x^2)+a/2arcsin(x/a)+C

积分表上方·的

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问题1：求 积分 ∫ x^2 /(√(a^2 - x^ 2)) dx[数学科目]

x=acosm

√(a²-x²)=asinm

dx=-asinmdm

m=arccos(x/a)

sin2m=2√[1-(x/a)²]*x/a=2x√(a²-x²)/a²

原式=∫a²cos²m/asinm*(-asinm)dm

=-∫a²cos²mdm

=-a²/2∫[(1+cos2m)/2]d2m

=-a²/2*(m+sin2m/2)+C

=-a²arccos(x/a)/2-x√(a²-x²)/2+C

问题2：∫√（a^2+x^2）dx=?[数学科目]

先用分部积分法,

∫√(a^2+x^2)dx

=x *√(a^2+x^2) - ∫x *d√(a^2+x^2)

=x *√(a^2+x^2) - ∫x * x/√(a^2+x^2) dx

=x *√(a^2+x^2) -∫√(a^2+x^2)dx + ∫a^2 /√(a^2+x^2) dx

所以

2∫√(a^2+x^2)dx

=x *√(a^2+x^2) + ∫a^2 /√(a^2+x^2) dx

=x *√(a^2+x^2) + a^2 *ln|x+√(x^2+a^2)|

于是得到

∫√(a^2+x^2)dx

=x/2 *√(a^2+x^2) + a^2/2 *ln|x+√(x^2+a^2)| +C,C为常数

问题3：求A=∫（x^2+x-2）dx.（-2,1）[数学科目]

∫(-2到1) (x^2+x-2) dx

=[x^3/3+x^2/2-2x](-2到1)

=(1/3+1/2-2)-[(-2)^3/3+(-2)^2/2-2(-2)]

=-7/6-10/3

=-9/2

问题4：∫(x^2+a^2)^(-1/2)dx=?[数学科目]

问题5：∫dx/(x√(a^2-x^2))[数学科目]

令x=a*sint（t在0到pi/2之间）

则dx=a*cost*dt

√(a^2-x^2)=√{a^2[1-(sint)^2]}=a*cost

原式=∫ a*cost*dt/(a*sint*a*cost)

=∫ dt/(a*sint)

=1/a*∫ sint*dt/(sint)^2

= -1/a*∫ d(cost)/[1-(cost)^2]

= -1/a*∫ d(cost)*[1/(1-cos)t+1/(1+cost)]/2

= -1/(2a)*[-ln(1-cost)+ln(1+cost)]

= -1/(2a)*ln[(1+cost)/(1-cost)]

而x=a*sint,sint=x/a,cost=√(1-x^2/a^2)

将cost代入,再化简即可