P是三角形ABC的费尔马点，角B是60度，PA=3，PC=4.求PB的...

精选知识

我有个比较笨的方法

由于费马点在三角形内,设PB=x

利用余弦定理,PA=3,PC=4求出BC长根号37

继续用余弦定理求出AB,AC长度的代数式

再使用余弦定理列出AB,AC求BC的方程,解出结果就可以,不过比较麻烦.

我再考虑考虑简单的方法

其他类似问题

问题1：费尔马点[数学科目]

费尔马点

费尔马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最短的点.

对于一个顶角不超过120度的三角形,费尔马点是对各边的张角都是120度的点.

对于一个顶角超过120度的三角形,费尔马点就是最大的内角的顶点.

问题2：费尔马点是什么?费尔马点[数学科目]

就是平面内1点到面内另外3个点的距离和最短,这个点就是费尔马点

问题3：费马点论文 几百字 简单OK扼.[数学科目]

费马点

定义

在一个多边形中,到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点.

在平面三角形中:

(1).三内角皆小于120°的三角形,分别以 AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.

(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.

(3)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合

（1） 等边三角形中BP=PC=PA,BP、PC、PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线.是内切圆和外切圆的中心.△BPC≌△CPA≌△PBA.

（2） 当BC=BA但CA≠AB时,BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线.

证明

(1)费马点对边的张角为120度.

△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,

△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B

同理可得∠CBP=∠CA1P

由∠PA1B+∠CA1P=60度,得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度

同理,∠APB=120度,∠APC=120度

(2)PA+PB+PC=AA1

将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合,连结PD,则△PDB为等边三角形,所以∠BPD=60度

又∠BPA=120度,因此A、P、D三点在同一直线上,

又∠CPB=∠A1DB=120度,∠PDB=60度,∠PDA1=180度,所以A、P、D、A1四点在同一直线上,故PA+PB+PC=AA1.

(3)PA+PB+PC最短

在△ABC内任意取一点M（不与点P重合）,连结AM、BM、CM,将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合,连结AM、GM、A1G(同上),则AA1

问题4：证明费马点[物理科目]

费马点是指在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点.(1).三内角皆小於120°的三角形ABC的费马点,分别以 AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此角的顶点就是所求.

对于任意三角形△ABC,若三角形内某一点P令PA + PB + PC三线段有最小值的一点,P为费马点.

作法

* 当三角形的内角都小于120度时

o 向外做三个正三角形△ABC',△BCA',△CAB'

o 连接CC'、BB'、AA'

* 当有一个内角不小于120度时,费马点为此角对应顶点.

费马点的另外一种解法 :

在一块理想的（水平光滑）木板上画上要研究的

符合条件的三角形（任意顶角小于120度）

在三个顶点和费马点处打洞（无限小,壁光滑）

用三根绳子分别系上三个同样质量的物体,穿过

三个顶点的洞再打个结系在一起.（结当然也是理想的啦,无限小）

松手让整个系统自由运动.那么,绳结一定会落在

费马点（能量最低原则保证在桌面上的绳子总长度最短）

然后,由于是三个大小相同的矢量在平面上平衡,（三个物体质量一样）

所以三根绳子之间的夹角均为120度.

若P是三角形ABC内的一点,那么就分别过A点,B点,C点作PA,PB,PC的垂线,使之构成新的三角形,然后你就可以证明只有当PA,PB,PC每两条直线所成角为120度时,PA+PB+PC的和最小

问题5：关于费马点的题目若P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.(1)若点P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°,PA=3,PC=4,则PB的值为; (2)如图5,在锐角△ABC外侧作等边△ACB′[数学科目]

对不起,刚刚第一题漏了.

以B为顶点,往BC边外旋转BPC 60度得到BDE,根据费马点的定义,以及旋转,有：

1) ∠APB=120度

2) ∠BDE=∠BPC=120度

3) A、P、D、E四点共线

4) △BPD是等边三角形

5) ∠CBE=60度

因为∠ABC=60度,所以

6) ∠ABE=∠ABC + ∠CBE=120度

根据4)、6)有：

7) ∠ABP + ∠DBE=60度

因为∠ABP + ∠BAP=60度,所以

8) ∠DBE=∠BAP

由1)、2)、8)知道△APB相似于△BDE,于是AP/BP=BD/DE=BP/CP

从而BP^2=AP*CP,即BP=2√3

由∠BPA=120°,∠AB′C=60°,

∴A,P,C,B′四点共圆.

∴∠APB′=∠ACB′=60°,

∴∠APB+∠APB′=180°,

∴BPB′三点共线.

在PB′上取一点D,使得∠PCD=60°,

由∠CPB′=120°-60°=60°,

∴△PCD是等边三角形,得：PC=PD（1）,

在△APC和△B′DC中,

AC=B′C,由∠PCD=∠ACB′=60°,

∴∠ACP=∠B′CD,PC=DC,

∴△ACP≌△B′CD,得AP=DB′（2）

由（1）,（2)得：

BP+AP+CP=BB′.证毕.