超级自然书_1、从1

精选知识

从1-100的自然数中,任意取出51个数,证明其中一定有两个数,它们中的一个是另一个的整数倍.

分析：本题似乎茫无头绪,从何入手?其关键何在?其实就在“两个数”,其中一个是另一个的整数倍.我们要构造“抽屉”,使得每个抽屉里任取两个数,都有一个是另一个的整数倍,这只有把公比是正整数的整个等比数列都放进去同一个抽屉才行,这里用得到一个自然数分类的基本知识：任何一个正整数都可以表示成一个奇数与2的方幂的积,即若m∈N+,K∈N+,n∈N,则m=(2k-1)·2n,并且这种表示方式是唯一的,如1=1×2°,2=1×21,3=3×2°,……

证明：因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘2的方幂,并且这种表示方法是唯一的,所以我们可把1-100的正整数分成如下50个抽屉（因为1-100中共有50个奇数）：

（1）{1,1×2,1×22,1×23,1×24,1×25,1×26}；

（2）{3,3×2,3×22,3×23,3×24,3×25}；

（3）{5,5×2,5×22,5×23,5×24}；

（4）{7,7×2,7×22,7×23}；

（5）{9,9×2,9×22,9×23}；

（6）{11,11×2,11×22,11×23}；

……

（25）{49,49×2}；

（26）{51}；

……

（50）{99}.

这样,1-100的正整数就无重复,无遗漏地放进这50个抽屉内了.从这100个数中任取51个数,也即从这50个抽屉内任取51个数,根据抽屉原则,其中必定至少有两个数属于同一个抽屉,即属于（1）-（25）号中的某一个抽屉,显然,在这25个抽屉中的任何同一个抽屉内的两个数中,一个是另一个的整数倍.

说明：

（1）从上面的证明中可以看出,本题能够推广到一般情形：从1-2n的自然数中,任意取出n+1个数,则其中必有两个数,它们中的一个是另一个的整数倍.想一想,为什么?因为1-2n中共含1,3,…,2n-1这n个奇数,因此可以制造n个抽屉,而n+1＞n,由抽屉原则,结论就是必然的了.给n以具体值,就可以构造出不同的题目.例2中的n取值是50,还可以编制相反的题目,如：“从前30个自然数中最少要（不看这些数而以任意方式地）取出几个数,才能保证取出的数中能找到两个数,其中较大的数是较小的数的倍数?”

（2）如下两个问题的结论都是否定的（n均为正整数）想一想,为什么?

①从2,3,4,…,2n+1中任取n+1个数,是否必有两个数,它们中的一个是另一个的整数倍?

②从1,2,3,…,2n+1中任取n+1个数,是否必有两个数,它们中的一个是另一个的整数倍?

你能举出反例,证明上述两个问题的结论都是否定的吗?

（3）如果将（2）中两个问题中任取的n+1个数增加1个,都改成任取n+2个数,则它们的结论是肯定的还是否定的?你能判断证明吗?

例3．从前25个自然数中任意取出7个数,证明：取出的数中一定有两个数,这两个数中大数不超过小数的1.5倍.

证明：把前25个自然数分成下面6组：

1； ①

2,3； ②

4,5,6； ③

7,8,9,10； ④

11,12,13,14,15,16； ⑤

17,18,19,20,21,22,23,⑥

因为从前25个自然数中任意取出7个数,所以至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组,这两个数中大数就不超过小数的1.5倍.

说明：

（1）本题可以改变叙述如下：在前25个自然数中任意取出7个数,求证其中存在两个数,它们相互的比值在内.

显然,必须找出一种能把前25个自然数分成6（7-1=6）个集合的方法,不过分类时有一个限制条件：同一集合中任两个数的比值在内,故同一集合中元素的数值差不得过大.这样,我们可以用如上一种特殊的分类法：递推分类法：

从1开始,显然1只能单独作为1个集合{1}；否则不满足限制条件.

能与2同属于一个集合的数只有3,于是{2,3}为一集合.

如此依次递推下去,使若干个连续的自然数属于同一集合,其中最大的数不超过最小的数的倍,就可以得到满足条件的六个集合.

（2）如果我们按照（1）中的递推方法依次造“抽屉”,则第7个抽屉为

{26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39}；

第8个抽屉为：{40,41,42,…,60}；

第9个抽屉为：{61,62,63,…,90,91}；

……

那么我们可以将例3改造为如下一系列题目：

（1）从前16个自然数中任取6个自然数；

（2）从前39个自然数中任取8个自然数；

（3）从前60个自然数中任取9个自然数；

（4）从前91个自然数中任取10个自然数；…

都可以得到同一个结论：其中存在2个数,它们相互的比值在]内.

上述第（4）个命题,就是前苏联基辅第49届数学竞赛试题.如果我们改变区间[]（p＞q）端点的值,则又可以构造出一系列的新题目来.

其他回答

第二题，基本思路，反证法，假设取出的数中，大数超过小数的1.5倍，我们取最小的数1，其1.5倍是1.5，由于是自然数，故取2，然后取3，但是3是2的1.5倍，于是舍弃3 ，取4，以此类推，可以取7，11，17，然后取到26

所以符合假设条件的最小取法是1，2，4，7，11，17，26刚好第七个数大于25，与条件矛盾，故假设错误，原命题成立。...

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．
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