在三角形abc中

　　问：已知三边求面积的数学知识，能否详解？

　　答：已经三角形的三边求面积是在三角形abc中解三角形经常遇到的问题，三角形的解法可以用海伦定理、余弦定理等来进行求解。那么下面先分享一道关于三角形三边求面积的例题，再引申出三角形求解的知识点归结。

　　例题、已经一个三角形的三边边长分别为4.5cm,6.5cm,6cm。请计算三角形的面积(单位为cm square)

　　解析：根据题意，可以推断出这个三角形为一个正三角形，而三边的边长分别为a、b、c ，而其面积为A，

　　则A^2=s×(s-a)×(s-b)×(s-c)，

　　其中 s=(a+b+c)÷2，即为三角形的半周长。

　　故原题，将a=4.5，b=6.5，c=6代入

　　得s=17/2，s-a=4，s-b=2，s-c=5/2

　　三角形的面积的平方=(17/2)×4×2×(5/2)=170

　　故三角形的面积为√170。

　　在三角形abc中，已知三边求面积扩展到解三角形

　　一、重点整理

　　(一)三角形面积公式：

　　在 ABC中，若a、b、c分别表示 A、 B、 C的对边长，则 ABC面积为 = bcsinA = casinB = absinC.

　　(二) 正弦定理：在 ABC中，若a、b、c分别表示 A、 B、 C的对边长，R表示 ABC的外接圆半径，则

　　a:b:c = sinA:sinB:sinC

　　(三) 三角形面积与外接、内切圆半径：

　　在 三角形ABC中，若a、b、c分别表示 A、 B、 C的对边长，R表示 ABC的外接圆半径，r为内切圆半径， 为 ABC之面积，s为周界的一半。则

　　1. r= 2. R=

　　(四) 余弦定理：在 ABC中，若a、b、c分别表示 A、 B、 C的对边长，R表示 ABC的外接圆半径，则

　　a = b + c –2bccosA cosA = b = a + c –2accosB cosB = c = a + b –2abcosB cosC =

　　(五) 海龙定理： ABC三边长为a、b、c，则 ABC面积为

　　=

　　(六)三角形的解法：(利用已知正、余弦定理)

　　1.已知三边(S.S.S) 2.已知一边及二角 (A.S.A或A.A.S)

　　3.已知二边及一对角(S.S.A) 4.已知二边及其夹角 (S.A.S)

　　(七)三角测量：(利用已知三角函数关系)

　　二、解三角形自我学习评量

　　(一)在三角形abc中类似的基础题

　　1.在 ABC中， = 2， = 3， A=60 ，试求 ABC面积.

　　解答： 2. 设 ABC面积为6 ，且a=5，b=6，c=7，试求其外接圆半径R，及内切圆半径r.

　　解答：R = ;r = 3.在 ABC中，若 c = 2，b = 3， A=120 ，试求 a.

　　解答：a = 4.在 ABC中，若三边为 5、6、7，试求 ABC面积.

　　解答：6 5.在 ABC中，若三边为 5、6、7，试求最小角之余弦值.

　　 (二)在三角形abc中解三角形类似进阶题

　　1. 在 ABC中，若a、b、c分别表示 A、 B、 C的对边长，若c=6， A=30 ， B=105 ，试求a边.

　　解答：a = 3 2.在 ABC中，若a = 2，b = +1， C=60 试解此三角形.

　　解答：c = ; A= 45 、 B= 75 .

　　3. 在 ABC中，若a、b、c分别表示 A、 B、 C的对边长，若 A： B： C =1：2：3，试求sinA : sinB : sinC.

　　解答：1： ：2.

　　4. 在 ABC中，若三边为 13、14、15，试求 ABC面积.

　　解答：84

　　(三)在三角形abc中解三角形类似挑战题

　　1.在 ABC中，若a、b、c分别表示 A、 B、 C的对边长，若(b+c) : (c+a) : (a+b) =5 : 6 : 7，试求sinA : sinB : sinC.

　　解答：sinA : sinB : sinC = 4：3：2.

　　2. 设 ABC面积为2 ，且a=3，b=5，c=6，试求其外接圆半径R，及内切圆半径r.

　　解答：R = 3.在 ABC中，若a = ，b = 2，c = –1，试解此三角形

　　解答： A= 30 、 B= 135 . C= 15 .

　　4. 某人在A处测得某建筑物的仰角为30 ，再往建筑物方向前进200公尺，再测得某建筑物的仰角为45 ，求此建筑物的高度.

　　解答：100( +1) 公尺

　　5. 某一建筑物有一旗杆，旗杆长20公尺，于地面上某一点测得某建筑物的仰角为45 ，旗杆顶端的仰角为60 ，求此建筑物的高度.

　　解答：10( +1) 公尺

　　6.有一等腰三角形的底编为10，顶角为72 ，则腰长为

　　(A) 5sin36 (B)5tan36 (C)5cot36 (D)5csc36

　　解答：(D).

　　说明：文中会涉及到一些小图片比如角度图片等，所以导致内文很难排版，基于这个问题。编辑已经将其整理成word文档如附件，以上题目请下载附件阅读完整版会更清晰。

 

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