在自然条件下，某草原上野兔第n年年初的数量记为x n ，...

优质解答

（1）详见解析；（2） ，证明用数学归纳法，过程详见解析．

试题分析：（1）由已知可得y _n 是x _n 的一个二次函数，利用配方法，注意到 就可证明 ；（2）由已知有该年的增长量 ，所以第n+1年年初的的数量x _n+1 =x _n +y _n ,代入即可用 x _n 表示x _n+1 ；证明草原上的野兔总数量恒小于m，即证对一切非零自然数n，都有x _n 时，命题成立，则对n=k+1时，由于 是x _k 的一个二次函数，结合二次函数的性质，可证 成立，从而有对一切正整数n， ，即是草原上的野兔总数量恒小于m.
试题解析：（1）由题意知 ，配方得： ∵ ∴当且仅当 时， 取得最大值 ，即 （5分）
（2） （8分）
用数列归纳法证明：
当n=1时，由题意知 ，故命题成立
假设当 时，命题成立
是x _k 的一个二次函数 ， 有对称轴 ，开口向下，由 ，则 ，于是在 上均有 =m
取 ，即知 ，∴当 时，命题成立，综上知，对一切正整数n， 这就是说该草原上的野兔数量不可能无限增长 （13分）