是否存在abc，使等式12^2+23^2+34^2+…+n(n+1)^2=

精选知识

证明：

假设存在a,b,c使得等式成立,则可以令n=1,2,3,此时得方程组：

①a+b+c=24；②4a+2b+c=44；③9a+3b+c=70

联立①②③,解得：a=3；b=11；c=10

即1*2^2+2*3^2+3*4^2+……+n*(n+1)^2=[n(n+1)/12](an^2+bn+c)

下面用数学归纳法进行证明：

1.当n=1时,成立(通过前面的计算是成立的)

2.假设当n=k时,等式成立,

即Sk=1*2^2+2*3^2+3*4^2+……+k*(k+1)^2=[k(k+1)/12](3k^2+11k+10)

则当n=k+1时,

Sk+1

=Sk+(k+1)(k+2)

=[k(k+1)/12](3k^2+11k+10)+(k+1)(k+2)

=[(k+1)(k+2)/12][3(k+1)^2+11(k+1)+10]

即当n=k+1时,等式也成立

因此,当a=3,b=11,c=10 时,等式对一切自然数都成立.

其他回答

有三个公式必须要记住就能解决：

1+2+...+n=n(n+1)/2

1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1^3+2^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2

n(n+1)^2=n(n^2+2n+1)=n^3+2n^2+n

==(n(n+1)/2)^2+n(n+1)(2n+1)/3+n(n+1)/2

然后你把她整理一下成为[n(n+1)/12](a*n^2+b*n+c)，问题就迎刃而解了。

其他类似问题

问题1：是否存在常数a,b,c,使等式1*2^2+2*3^2+.+n（n+1）^2=（（n+n^2）/12）（bn+c+an^2）对一切正整数n都成立?证明你的结论[数学科目]

证明：

假设存在a,b,c使得等式成立,则可以令n=1,2,3,此时得方程组：

①a+b+c=24；②4a+2b+c=44；③9a+3b+c=70

联立①②③,解得：a=3；b=11；c=10

即1*2^2+2*3^2+3*4^2+……+n*(n+1)^2=[n(n+1)/12](an^2+bn+c)

下面用数学归纳法进行证明：

1.当n=1时,成立(通过前面的计算是成立的)

2.假设当n=k时,等式成立,

即Sk=1*2^2+2*3^2+3*4^2+……+k*(k+1)^2=[k(k+1)/12](3k^2+11k+10)

则当n=k+1时,

Sk+1

=Sk+(k+1)(k+2)

=[k(k+1)/12](3k^2+11k+10)+(k+1)(k+2)

=[(k+1)(k+2)/12][3(k+1)^2+11(k+1)+10]

即当n=k+1时,等式也成立

因此,当a=3,b=11,c=10 时,等式对一切自然数都成立.

祝你学习天天向上,加油!

问题2：是否存在常数abc使得等式1^2-2^2+3^2-4^2+...+[(-1)^n-1]*n^2=[(-1)^n-1]*(an^2+bn+c)是否存在常数abc使得等式1^2-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^n-1*n^2=(-1)^n-1*(an^2+bn+c)对一切正整数n都成立.并证明你的结论.[数学科目]

假设存在abc使得等式成立

当n=1时,1=a+b+c

当n=2时,1-4=-3=4a+2b+c

当n=3时,1-4+9=6=9a+3b+c

根据三个式子求出a=8 b=-28 c=21

则原式为1^2-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^n-1*n^2=(-1)^n-1*(8n^2-28n+21)

再用数学归纳法证明一下就可以了

不是很难,就是满足一般的一定满足特殊的,用特殊的几个数带进去算一下求出值再证明就可以了

问题3：9-1=8,16-4=12,25-9=16'36-16=20...这些等式反映出自然数中的某中规律,设n为自然数,用关于n的等式表示出来[数学科目]

（n+2）^2-n^2=4n+4

问题4：是否存在常数abc,使得等式1*2^2+2*3^2+.+n(n+1)^n=n(n+1)(an^2+bn+c)/12成立?[数学科目]

1*(n^2-1^2)+2*(n^2-2^2)...+n(n^2-n^2) =(1+2+..+n)*n^2-(1^3+2^3+..+n^3) 其中：1+2+3+..+n=n*(n+1)/2 1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2 所以： 1*(n^2-1^2)+2*(n^2-2^2)...+n(n^2-n^2) =(1+2+..+n)*n^2-(1^3+2^3+..+n^3) ＝n^3*(n+1)/2 -[n(n+1)/2]^2 =n*(n+1)(2n^2-n^2-n)/4 =(n^2+n)(n^2-n)/4 =(n^4-n^2)/4 对比an^4+bn^2+c a=1/4,b=-1/4,c=0 所以存在常数a、b、c,使等式1*(n^2-1^2)+2*(n^2-2^2)...+n(n^2-n^2)=an^4+bn^2+c对一切正整数n都成立. 补充： 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1 3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1 4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1 . (n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1 各式相加有 (n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n 4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]^2 1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

问题5：观察下列等式：9-1=8，16-4=12，25-9=16，36-16=20，…设n表示正整数，下面符合上述规律的等式是（　　）A. （n+2）2-n2=4（n+1）B. （n+1）2-（n-1）2=4nC. （n+2）2-n2=4n+1D. （n+2）2-n2=2（n+1）[数学科目]

根据9-1=8，16-4=12，25-9=16，36-16=20，…设n表示正整数，得到规律为（n+2）²-n²=4（n+1）．
故选A．