(2011· 牡丹江)在三角形abc中，∠ACB=2∠B ，如图①，...

精选知识

（2011?牡丹江）在△ABC中,∠ACB=2∠B,如图①,当∠C=90°,AD为∠BAC的角平分线时,在AB上截取AE=AC,连接DE,易证AB=AC+CD．
（1）如图②,当∠C≠90°,AD为∠BAC的角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?不需要证明,请直接写出你的猜想：
（2）如图③,当AD为△ABC的外角平分线时,线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并对你的猜想给予证明．

（1）猜想：AB=AC+CD．
证明：如图②,在AB上截取AE=AC,连接DE,
∵AD为∠BAC的角平分线时,
∴∠BAD=∠CAD,
∵AD=AD,
∴△ADE≌△ADC（SAS）,
∴∠AED=∠C,ED=CD,
∵∠ACB=2∠B,
∴∠AED=2∠B,
∴∠B=∠EDB,
∴EB=ED,
∴EB=CD,
∴AB=AE+DE=AC+CD．
（2）猜想：AB+AC=CD．
证明：在BA的延长线上截取AE=AC,连接ED．
∵AD平分∠FAC,
∴∠EAD=∠CAD．
在△EAD与△CAD中,AE=AC,∠EAD=∠CAD,AD=AD,
∴△EAD≌△CAD．
∴ED=CD,∠AED=∠ACD．
∴∠FED=∠ACB．
又∠ACB=2∠B,∠FED=∠B+∠EDB,∠EDB=∠B．
∴EB=ED．
∴EA+AB=EB=ED=CD．
∴AC+AB=CD．

其他类似问题

问题1：如图,在三角形ABC中,角ACB=90度,CD是角ACB的平分线,CD的垂直平分线分别交AC,CD,BC于点E,O,F求证：四边形CEDF是正方形我不会发图,也没法做,所以多给下分数,希望可以帮帮忙,[数学科目]

先证明△CEO≌△CFO(ASA),得CE=CF,OE=OF

∵CO=DO ∴四边形CEDF是平行四边形

∵CE=CF,∠BAC=90°,

∴四边形CEDF是正方形

问题2：如图,在三角形ABC中,角ABC与角ACB的外角平分线交于点D,则角D等于多少?[数学科目]

∠D=90°-1/2∠A

问题3：已知：如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O．求证：∠BOC=90°+12∠A．[数学科目]

证明：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=12

∠ABC，∠OCB=12

∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=12

（∠ABC+∠ACB），
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-12

（∠ABC+∠ACB）
=180°-12

（180°-∠A）
=90°+12

∠A，
即：∠BOC=90°+12

∠A．

问题4：如图在三角形ABC中角C等于2角B,AD是三角形ABC的角平分线,角1=角B,求证：AB=AC+CD.[数学科目]

∵∠1=∠B

∴DE=BE且∠AED=180-∠DEB=180-(180-∠1-∠B)=∠1+∠B=2∠B

∵AD是角平分线

∴∠CAD=∠BAD

又∵∠C=2∠B=∠AED,AD是公共边

∴三角形ACD≌三角形AED

∴AC=AE,CD=DE

∴AB=AE+BE=AE+DE=AC+CD

问题5：如图在三角形ABC中角ABC与角ACB的平分线交于点O且角ABC+ACB=130°求角BOC的度数 [数学科目]