值域_函数f(x)=(sinx+2)(cosx+3)值域![数学]

精选知识

解法一：设y=(sinx+2)/(cosx+3)

则y(cosx+3)=sinx+2

sinx-ycosx=3y-2

[√(1+y2)]sin(x-θ)=3y-2 (其中θ满足cosθ=1/√(1+y2),sinθ=y/√(1+y2),）

即sin(x-θ)=(3y-2)/ √(1+y2),……①

欲使关于x的方程①有解需且必须|(3y-2)/ √(1+y2)|≤1

|3y-2|≤√(1+y2)

两边平方,得

8y2-12y+3≤0

解之得(3-√3)/4≤y≤(3+√3)/4

即f(x)值域为[(3-√3)/4,(3+√3)/4]

解法二：可以采用数形结合的方法

设u=sinx,v=cosx

则v2+u2=1……①

建立直角坐标系,横轴为v轴,纵轴为u轴

则方程①表示以原点O为圆心,半径为1的圆.

(sinx+2)/(cosx+3)表示点M（cosx,sinx）与点P（-3,-2）连线的斜率k,

k的范围就是所求值域.

则过点P圆的切线为u+2=k(v+3)即 kv-u+3k-2=0,……②

由于圆心到切线的距离等于半径

则1=|3k-2|/√(k2+1)

解之得(3-√3)/4≤k≤(3+√3)/4

即f(x)值域为[(3-√3)/4,(3+√3)/4]

解法三：可以采用数形结合的方法

设u=sinx,v=cosx

则v2+u2=1……①

建立直角坐标系,横轴为v轴,纵轴为u轴

则方程①表示以原点O为圆心,半径为1的圆.

(sinx+2)/(cosx+3)表示点M（cosx,sinx）与点P（-3,-2）连线的斜率k.

则过点P圆的切线为u+2=k(v+3)即 u=k(v+3)-2,……②

将②代入①,得v2+[k(v+3)-2]2=1

(k2+1)v2+2k(3k-2)v+(3k-2)p2-1=0

有△=0得k=3-√3)/4,或3+√3)/4

即f(x)值域为[(3-√3)/4,(3+√3)/4]

其他回答

这道题目可以理解成点（-3，-2）到圆x^2+y^2=1的直线的斜率的范围

因为圆的参数方程可以表为x=cost y=sint,那么f(t)不正表示的是斜率吗？

这样的话，函数的值域就是点与圆的两条切线的斜率之间

设切线斜率为K 有k^2+1=(3k-2)^2,解出k来就可以了

其他类似问题

问题1：已知函数f(x)=12(sinx+cosx)-12|sinx-cosx|，则f（x）的值域是（　　）A. [-1，1]B. [-22，1]C. [-1，-22]D. [-1，22][数学科目]

由题 f(x)=cosx，(sinx≥cosx)sinx，(sinx＜cosx)

=cosx，x∈[2kπ+π4，2kπ+5π4]sinx，x∈(2kπ-3π4，2kπ+π4)

，
当 x∈[2kπ+π4，2kπ+5π4]

时，f（x）∈[-1，22

]
当 x∈(2kπ-3π4，2kπ+π4)

时，f（x）∈（-1，22

）
故可求得其值域为 [-1，22]

．
故选：D．

问题2：函数f(x)=sinx*cosx+sinx+cosx的值域是[数学科目]

令 sinx+cosx=t ,则两边平方得 1+2sinxcosx=t^2 ,

所以 f(x)=(t^2-1)/2+t=1/2*(t+1)^2-1 ,

由 t=sinx+cosx=√2*sin(x+π) ∈[ -√2,√2] 得

当 t= -1 时 f(x) 最小值为 -1 ,

当 t=√2 时 f(x) 最大值为 √2+1/2 ,

所以,函数值域为 [-1,√2+1/2] .

问题3：函数f(X)=(SINX*COSX)/(1+SINX+COSX)的值域是[数学科目]

∵sinxcosx

=[（sinx+cosx）^2-1]/2

=(1+sinx+cosx)(sinx+cosx-1)/2

∴y=sinxcosx/(1+sinx+cosx)

=(sinx+cosx-1)/2

又1+sinx+cosx≠0即sinx+cosx≠-1

且sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2].

∴y=sinxcosx/(1+sinx+cosx)的值域为

[(-√2-1)/2,-1)∪(-1,(√2-1)/2].

参考:

设sinx+cosx=t属于[-根号2,根号2] => t^2=1+2sinxcosx =〉 sinxcosx=(t^2-1)/2

f(x）=（t^2-1）/2(1+t)=(t-1)/2属于[-(√2+1)/2,(√2-1)/2]

另外,分母不为零,所以1+sinx+cosxb不=0 ,既t不=-1

综上,值域属于[-(√2+1)/2,-1）并上（-1,(√2-1)/2]

问题4：函数f(X)=sinx/cosx-2的值域是[数学科目]

f(x)=(sinx-0)/(cosx-2)

可示为,点（cosx,sinx)到定点（2,0）的斜率范围

所以点（cosx,sinx)集合是以（0,0）为圆心半径为1的圆

所以定点为（2,0）与圆相切的两条直线斜率之间的范围就是f(x)的值域

所以容易求得两条直线斜率为k=±√3/3

所以f(x)的值域为【-√3/3,√3/3】.(画个图是一目了然的）

问题5：函数f（x）=sinx/(2-cosx),求该函数的值域答案为[-√3/3,√3/3],望解析方法和过程.（别复制,相关的内容我看过.）[数学科目]

y=sinx/(2－cosx)

2y－ycosx=sinx

sinx＋ycosx=2y

[√(y2＋1)]sin(x＋w)=2y,则：

sin(x＋w)=[2y]/[√(y2＋1)]

因为|sin(x＋w)|≤1,则：

|[2y/√(y2＋1)]|≤1 ,两边平方,得：

y2＋1≥4y2

y2≤1/3,则：

－√3/3≤y≤√3/3,则：

y∈[－√3/3,√3/3]