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2010年全国初中数学联赛江西省初赛试题解答
第 一 试
一. 选择题（每小题 分,共42分）
、化简 的结果是（ ）．
、 ； 、 ； 、 ； 、 ．
答案：
, ,
,因此原式 ．
、 是一个等腰直角三角形, 是其内接正方形, 是正方形的对角线交点；那么,由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（ ）．
、 ； 、 ； 、 ； 、 ．
答案： ．
设 ,图中所有三角形均为等腰直角三角形,其中,斜边长为 的有 个,它们组成 对全等三角形；斜边长为 的有 个,它们组成 对全等三角形；斜边长为 的有 个,它们组成 对全等三角形；共计 对．
、设 ,且函数 与 有相同的最小值 ；
函数 与 有相同的最大值 ；则 的值( ).
、必为正数； 、必为负数； 、必为 ； 、符号不能确定．
答案： .
, ,
由 ,得 ……①
, ；
由 ,得 ……②
②-①得, ,所以 ……③,或 ……④
若 ,则 ；
若 ,据②④, ,即 ,矛盾!
、若关于 的方程 没有实根,那么,必有实根的方程是（ ）．
、 ； 、 ；
、 ； 、 ．
答案: .
解:由方程 无实根,得其判别式 ,于是 ,
方程 的判别式分别是:
, , , ,
显然,对于满足 的每个 值,可以确保 ,但不能保证 非负,（即使得方程 无实根的 的区间与区间 都有重叠部分,而使方程 无实根的 的区间 与区间 无重叠部分）,所以 必有实根,其余方程不一定有实根.
、正方形 中, 分别是 上的点, 交 于 , 交 于 ；若 平分 , ；记 , ,
,则有（ ）.
、 ； 、 ；
、 ； 、 ．
答案:
解:由角平分线, ,即 ,又 的角分线与高重合,则 为等腰三角形, ,作 ‖ ,交 于 ,则 为 的中位线,
∽ , ,所以 .
、将 这八个数分别填写于一个圆周八等分点上,使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数, 如果圆周旋转后能重合的算作相同填法,那么不同的填法有（ ）．
、 种； 、 种； 种、； 、 种．
答案：
相邻两数和为奇质数,则圆周上的数奇偶相间,于是 的两侧为 ,而 的两侧为 ；剩下两数 必相邻,且 与 之一邻接；考虑三个模块 的邻接情况,得到 种填法．
二、 填空题（每小题7分,共28分）
、若 个连续正整数之和为 ,则 的最大值是 ．
答案： ．
设 ,则 ,
注意 ,而 ,为使 值最大,当把 表成最接近的一对因数之积,为 ,所以 ．
、单位正三角形中,将其内切圆及三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去,则三角形剩下部分的面积为 .
答案：
单位正三角形内切圆半径为 ,其面积为 ,而 为其中心,故 ,因此, 与 的相似比为 ,于是每个小圆面积等于 面积的 ,故四个圆面积之和为 ,因此,所求三角形剩下部分的面积为 ．
、圆内接四边形 的四条边长顺次为： ,则四边形的面积为 .
答案： .
由于 ,即 ,所以 与 都是直角三角形,因此,四边形面积 .
、在 中,适当选择+、-号,可以得到不同代数和的个数是 ．
答案： 个．
中,有奇数三个,故其代数和必为奇数；由 可以得到绝对值 的所有奇数：这是由于 , , ,
, , ；以上各式通乘 ,可得 的表达式；
而据题意,表达式中, 及 都必须参与,那么,能得到的整数应是 加或减 ,即得到十二个正奇数 和十二个负奇数 ；因此可表出的数共计 个．
第 二 试
一、（20分）边长为整数的直角三角形,若其两直角边长是方程 的两根,求 的值并确定直角三角形三边之长．
设直角边为 ,（ ）则 ,因方程的根为整数,故其判别式为平方数,设 ,
或 或
解得 (不是整数,舍去),
时,
时,
二、（ 分）如图,自 内的任一点 ,作三角形三条边的垂线：
,若 ；
证明： ．
证：注意如下事实：若四边形的两条对角线互相垂直,则其两组对边的平方和相等．
连 ,则有 ；
, ；
三式相加得 ,
利用条件 ,代入上式,得 ．
三、（ 分）已知 为正整数,且 为有理数,证明 为整数．
证：因 是无理数,则 ,而
为有理数,所以 ,于是
, 因此, 为整数．
其他类似问题
问题1：求2008年全国初中数学联赛江西省预赛的试题注意：2008年,江西,预赛,
这上面有
问题2：2009全国初中数学江西赛区的预赛试题求解1.实数a,b满足 I2a-4l+lb+2l+√[(a+3)b²]+4=2a,求a+b=?[数学科目]
首先楼主题目错了.原题是：
已知非零实数a、b满足|2a-4|+|b+2|+√(a-3)b2 +4=2a,则a+b等于（ ）
A、-1 B、0 C、1 D、2
有题设知a≥3,题设等式化为|b+2|+√(a-3)b =0,于是a=3,b=-2,从而a+b=1,选C
问题3：江西省中小学安全知识竞赛试卷
1、“富贵不能淫,贫贱不能移,威武不能屈”这表明了一个人意志品质的（ ）. D、坚持性 2、“网吧”等互联网上网经营场所不得让未满( )周岁的未成年人入内. A、16 3、《中华人民共和国防震减灾法》自（ ）起施行.B、19...
问题4：2007年江西省初中数学竞赛试题谁有明年就要竞赛了 我想找一些竞赛题来做一下说能帮我找一下试题[数学科目]
2007年江西省初中数学预赛试题
（2007年3月24日上午9：00~11：00）
第一试
一、选择题（本大题共六小题,每小题7分,共42分）
1、20072007的末位数字是（ ）
A、1 B、3 C、 D、
2、化简的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、若为正数,已知关于的一元二次方程有两个相等的实根,则方程的根的情况是（ ）
A、没有实根 B、有两个相等的实根 C、有两个不等的实根 D、根的情况不确定
4、若直角三角形的三个顶点皆取自某个正十二边形的顶点,则这种直角三角形的个数为（ ）
A、36 B、60 C、96 D、120
5、对于给定的单位正方形,若将其两条对角线以及每两条边的
中线连线作出,便得到右图,则图中互为相似的三角形“对子”
数有（ ）
A、44 B、552 C、946 D、1892
6、若将三条高线长度分别为x,y,z的三角形记为（x,y,z）,则在以下四个三角形（6,8,10）,（8,15,17）,（12,15,20）,（20,21,29）中,直角三角形的个数为（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
二、填空题（本大题共4小题,每小题7分,共28分）
7、满足方程的所有
实数x的和为
8、边长为整数,周长为20的三角形个数是
9、在边长为1的正方形ABCD中,分别为A、B、C、D为
圆心,作半径为1的圆弧,将正方形分成图中的九个小块,
则中心小块的面积是
10、用数字1,2,3,4排成一个四位数,使得这个数是11的倍数,则这样的四位数共有 个
第二试
三、解答题：（本大题共3小题,共70分,第11小题20分,第12、13小题
各25分）
11、试求所有的正整数,使得关于的一元二次方程
的两根皆为整数
12、四边形ABCD的对角线AC、BD交于P,过点P作直线,交AD于E,交BC于F,若PE=PF,且AP+AE=CP+CF,证明：四边形ABCD为平行四边形
13、若数能表示成两个自然数（允许相同）的平方和,则称为“好数”,试确定在前200个正整数1,2,…,200中,有多少个“好数”?
2007年江西省初中数学竞赛预赛答案
一、选择题：
1．B；2．B；3．D；4．B；5．C；6．A．
二、填空题：
7．；8．8；9．；10．8．
三、解答题：
11．设.b∈N
,利用质因数分解．求得,
由为整数及
另一种写法:设（5a2-26a-8）+4（a2-4a+9）= b2 b∈N
化简得:（3a-7-b）（3a-7+b）=21
\x05利用质因数分解:
3a-7-b\x051\x053\x05-21\x05-7
3a-7+b\x0521\x057\x05-1\x05-3
a\x056\x054\x05-\x05
\x05经验算:a=6
12．延长AC,在C上方取N,A下方取M,使AM=AE,CN=CF,易证△PAE≌
△PCF,得PA=PC,再证△PED≌△PFB．得PB=PD；∴ABCD为平行四边形．
13．可表为的数共14个；1～100中,可表为的数10个；可表为的有个；101~200中,可表为的数8个,
的数7个,的数5个,的数2个,以上共有91个．
但不超过40的数中5,10,13,17,20,25,26,29,34,37,40及这些数乘以5的积都可用两种方式表为两数平方和,另也可表为两种,故共有12次重复．
满足条件的数共有91—12=79个．
问题5：2010年4月11日全国初中数学联赛江西省赛区决赛试题解答[数学科目]
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题：（本题满分42分,每小题7分）
1. 若 均为整数且满足 ,则 （ B ）
A．1. B．2. C．3. D．4.
2．若实数 满足等式 , ,则 可能取的最大值为 （ C ）
A．0. B．1. C．2. D．3.
3．若 是两个正数,且 则 （ C ）
A． . B． . C． . D． .
4．若方程 的两根也是方程 的根,则 的值为 （ A ）
A．－13. B．－9. C．6. D． 0.
5．在△ 中,已知 ,D,E分别是边AB,AC上的点,且 , , ,则 ( B )
A．15°. B．20°. C．25°. D．30°.
6．对于自然数 ,将其各位数字之和记为 ,如 , ,则 （ D ）
A．28062. B．28065. C．28067. D．28068.
二、填空题：（本题满分28分,每小题7分）
1．已知实数 满足方程组 则 13 .
2．二次函数 的图象与 轴正方向交于A,B两点,与 轴正方向交于点C．已知 , ,则 ．
3．在等腰直角△ABC中,AB＝BC＝5,P是△ABC内一点,且PA＝ ,PC＝5,则PB＝___ ___．
4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现,且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放,最多可以摆放____15___个球.
第二试 （A）
一．（本题满分20分）设整数 （ ）为三角形的三边长,满足 ,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.
解 由已知等式可得
①
令 ,则 ,其中 均为自然数.
于是,等式①变为 ,即
②
由于 均为自然数,判断易知,使得等式②成立的 只有两组： 和
（1）当 时, , .又 为三角形的三边长,所以 ,即 ,解得 .又因为三角形的周长不超过30,即 ,解得 .因此 ,所以 可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形.
（2）当 时, , .又 为三角形的三边长,所以 ,即 ,解得 .又因为三角形的周长不超过30,即 ,解得 .因此 ,所以 可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.
二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中,AB＝AC,∠C的平分线与AB边交于点P,M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点,作MD//AC,交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.
证明 过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长,交BC于点N.
因为CP为∠ACB的平分线,所以∠ACP＝∠BCP.
又因为PA、PQ均为⊙I的切线,所以∠APC＝∠NPC.
又CP公共,所以△ACP≌△NCP,所以∠PAC＝∠PNC.
由NM＝QN,BA＝BC,所以△QNM∽△BAC,故∠NMQ＝∠ACB,所以MQ//AC.
又因为MD//AC,所以MD和MQ为同一条直线.
又点Q、D均在⊙I上,所以点Q和点D重合,故PD是⊙I的切线.
三．（本题满分25分）已知二次函数 的图象经过两点P ,Q .
（1）如果 都是整数,且 ,求 的值.
（2）设二次函数 的图象与 轴的交点为A、B,与 轴的交点为C.如果关于 的方程 的两个根都是整数,求△ABC的面积.
解 点P 、Q 在二次函数 的图象上,故 , ,
解得 , .
（1）由 知 解得 .
又 为整数,所以 , , .
(2) 设 是方程的两个整数根,且 .
由根与系数的关系可得 , ,消去 ,得 ,
两边同时乘以9,得 ,分解因式,得 .
所以 或 或 或
解得 或 或 或
又 是整数,所以后面三组解舍去,故 .
因此, , ,二次函数的解析式为 .
易求得点A、B的坐标为（1,0）和（2,0）,点C的坐标为（0,2）,所以△ABC的面积为 .
第二试 （B）
一．（本题满分20分）设整数 为三角形的三边长,满足 ,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.
解 不妨设 ,由已知等式可得
①
令 ,则 ,其中 均为自然数.
于是,等式①变为 ,即
②
由于 均为自然数,判断易知,使得等式②成立的 只有两组： 和
（1）当 时, , .又 为三角形的三边长,所以 ,即 ,解得 .又因为三角形的周长不超过30,即 ,解得 .因此 ,所以 可以取值4,5,6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形.
（2）当 时, , .又 为三角形的三边长,所以 ,即 ,解得 .又因为三角形的周长不超过30,即 ,解得 .因此 ,所以 可以取值2,3,4,5,6,7,对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.
二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.
第二试 （C）
一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同.
二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.
三．（本题满分25分）设 是大于2的质数,k为正整数．若函数 的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数,求k的值．
解 由题意知,方程 的两根 中至少有一个为整数．
由根与系数的关系可得 ,从而有
①
（1）若 ,则方程为 ,它有两个整数根 和 ．
（2）若 ,则 .
因为 为整数,如果 中至少有一个为整数,则 都是整数.
又因为 为质数,由①式知 或 ．
不妨设 ,则可设 （其中m为非零整数）,则由①式可得 ,
故 ,即 ．
又 ,所以 ,即
②
如果m为正整数,则 , ,从而 ,与②式矛盾.
如果m为负整数,则 , ,从而 ,与②式矛盾.
因此, 时,方程 不可能有整数根．
综上所述, ．
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