已知a+b+c=1，b^2+c^2-4ac+6c+1=0，求abc的值

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本题是一个二次曲面和平面相切的问题,正在尝试中.

a=1-b-c 代入 得

B^2+5c^2+2c+4bc+1=0

分解得（b+2c)^2+(c+1)^2=0

A=0 b=2 c=-1

Abc=0

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问题1：已知b+c/a=c+a/b=a+b/c求abc/(a+b)(b+c)(c+a)的值[数学科目]

（a+b)/c=(a+c)/b=(b+c)/a=k

设上式等于k,得

a+b=kc

a+c=kb

b+c=ka

以上三式相加,得

2(a+b+c)=k(a+b+c)

k(a+b+c)-2(a+b+c)=0

(k-2)(a+b+c)=0

解得：k=2和a+b+c=0,

当k=2时,(a+b)(a+c)(b+c)/abc=2*2*2=8；

当a+b+c=0时,可得：a+b=-c,a+c=-b,b+c=-a,则

(a+b)(a+c)(b+c)/abc=-c*(-b)*(-a)/abc=-1.

问题2：已知（b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c,求abc/[(a+b)(b+c)(a+c)]的值.[数学科目]

设（b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c = k

则 b+c = ak

c+a = bk

a+b = ck

相加 2(a+b+c) = k(a+b+c)

所以 k=2

abc/[(a+b)(b+c)(a+c)]= abc/(2a* 2b*2c) = 1/8

问题3：已知abc:a小于0,a-b+c大于0则不b*2-4ac去掉‘不’字[数学科目]

由题意设a,b,c满足抛物线y=ax²+bx+c

且a＜0,a-b+c＞0

因为a＜0

所以抛物线开口向下

因为a-b+c＞0

所以抛物线x=-1时,y=a-b+c＞0

所以抛物线y=ax²+bx+c与x轴一定有二个交点

所以△=b²-4ac＞0

问题4：已知a,b,c为△ABC的三条边且满足条件a^2-4bc-ab+4ac=0求证[数学科目]

∵a²－4bc－ab＋4ac

=a²-ab+4ac-4bc

=a(a-b)+4c(a-b)

=(a-b)(a+4c)=0

而a+4c≠0

∴a-b=0

∴a=b

即此三角形为等腰三角形

问题5：已知ab/a+b=1/3bc/b+c=1/4ac/a+c=1/5,求代数式abc/ab+bc+ca的值,[数学科目]

先求每个式子的倒数：

a+b /ab=3 ,则1/b +1/a=3

b+c /bc =4,则1/c +1/b =4,

a+c /ac =5,则 1/c +1/a =5,

所以,三个式子相加：

2（1/a+ 1/b+1/c)=3+4+5

1/a +1/b+1/c=6

所以,通分得：ab+bc+ca / abc =6

所以,abc/ ab+bc+ca =1/6