怎么用微分中值定理证明2x派

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显然,不等式需要在(0,π/2)的情况下证明.

1)右半边：根据中值定理,存在u,满足0cos(m)=2/π ->sin(x)>2/π*x

对m

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问题1：填空题：在区间[0,π/2]上,sinx及x+cosx满足柯西微分中值定理的中的ξ=?求大神指导.[数学科目]

设函数f(x)=sinx,F(x)=x+cosx,

∵f(x),F(x)在区间[0,π/2]是连续的,且在(0,π/2)均是可导,根据柯西中值定理,

[f(π/2)-f(0)]/[F(π/2)-F(0)]=f'(ξ)/F'(ξ),

f(π/2)=sin(π/2)=1,

f(0)=sin0=0,

F(π/2)=π/2+cosπ/2=π/2.

F(0)=0+cos0=1,

f'x)=cosx,

F'(x)=1-sinx,

(1-0)/(π/2-1)=cosξ/(1-sinξ),

2/(π-2)=cosξ/(1-sinξ),

∵(1-sinξ)(1+sinξ)=(cosξ)^2,

∴cosξ/(1-sinξ)=(1+sinξ)/cosξ,

设2/(π-2)=k,

cosξ/(1-sinξ)=k=(1+sinξ)/cosξ,

(1+sinξ)^2/(cosξ)^2=k^2,

1+2sinξ+(sinξ)^2=k^2[1-(sinξ)^2]

(sinξ)^2(1+k^2)+2sinξ+1-k^2=0,

sinξ=(-1±k^2)/(1+k^2),

因负根不在区间内,所以舍去,

∴sinξ=(-1+k^2)/(1+k^2),

将k=2/(π-2)代入,

sinξ=(-π^2+4π)/(π^2-4π+8),

∴ξ=arcsin[(-π^2+4π)/(π^2-4π+8)]≈0.5095.

问题2：微分中值定理的证明题,最后一步不太明白,请大神帮帮忙,谢谢[数学科目]

泰勒时,说在a与x间,之后分别令x=0,1.当然在(0,a)和(a,1)间了.因a在(0,1),从中点分成两段,(0,1/2)和[1/2,1),代入1式中.f''(x)=2/a^2,当然最小值是8.

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这个题目一看就应该要用到罗尔定理,正如你所说的证明也需要用到构造函数,其实你这个题目可以从结论入手分析问题 鉴于你应该会懂 我建立个函数

F(x)=f(a)*g(x)+f(x)*g(b)-f(x)g(x) 连续性和可导性我不再作说明 F(a)=F(b)

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