离散数学 如何证明(A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩﹙B×D﹚？

精选知识

从定义出发两面证即可

若(x,y)属于(A∩B)×(C∩D)

则有x属于A∩B且y属于C∩D

那么有x∈A,y∈C,也有x∈B,y∈D

所以(x,y)∈A×C,(x,y)∈B×D

即(x,y)∈（A×C）∩﹙B×D﹚

反过来,若(x,y)∈（A×C）∩﹙B×D﹚

则有(x,y)∈A×C且(x,y)∈B×D

那么有x∈A,y∈C且x∈B,y∈D

那么x∈A∩B,y∈C∩D

所以(x,y)∈(A∩B)×(C∩D)

综上所述,(A∩B)×(C∩D)=（A×C）∩﹙B×D﹚

其他回答

设(x,y)属于(A∩B)×(C∩D)，则：x属于(A∩B)，y属于(C∩D)，x属于A和B，y属于C和D，于是：

(x,y)属于A×C，也属于B×D，故(A∩B)×(C∩D)是（A×C）∩﹙B×D）的子集。

反之：设(x,y)属于（A×C）∩﹙B×D），则：(x,y)属于（A×C）和﹙B×D), ：x属于A,y属于C；x属于B,y属于D；那么x属于(A∩B)，y属于(...

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不太好.因为你的表示假设了 A,B,C有限. 按你的思路,可以这么表述：

A×B={（a,b)| a∈A , b∈B }

A×C={（a,c)| a∈A , c∈C }

(A×B)∪(A×C)={ (a,b),( a , c) | a∈A , b∈B , c∈C }

={ (a,d) | a∈A , d∈B 或 d∈C }

={ (a,d) | a∈A , d∈B ∪C }

=A×（B∪C）

问题2：是证明在格中对于任意元素a,b,c,d,有（a∧b）∨（c∧d）≤（a∨c）∧（b∨d）[数学科目]

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a∧b≤a ,a≤a∨c,再由关系≤的传递性得a∧b≤a∨c

因为c∧d是c,d的最大下界,a∨c是a,c的最小上界,故得

c∧d≤c ,c≤a∨c,再由关系≤的传递性得c∧d≤a∨c

由a∧b≤a∨c,c∧d≤a∨c可知a∨c是a∧b,c∧d的上界,而（a∧b）∨（c∧d）是a∧b,c∧d的最小上界,故得（a∧b）∨（c∧d）≤a∨c.

同理可证（a∧b）∨（c∧d）≤b∨d.

即（a∧b）∨（c∧d）是a∨c,b∨d的下界,而（a∨c）∧（b∨d）是a∨c,b∨d的最大下界,故得（a∧b）∨（c∧d）≤（a∨c）∧（b∨d）

问题3：离散数学用集合运算律证明:(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A)=(A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)[数学科目]

(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A)=(A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A)

证明：

(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A) = (B∩(A∪C))∪(C∩A)

=( B∪(C∩A) ∩ ((A∪C)∪(C∩A))

=( B∪C) ∩( B∪A) ∩(A∪C) ∩ (A∪C)

=( B∪C) ∩( B∪A) ∩(A∪C)

问题4：试证明在格中,若a∧b∧c=a∨b∨c,则a=b=c试证明在格中,若a∧b∧c=a∨b∨c,则a=b=c[数学科目]

反证法：

若a != b;

则存在e 属于a ,且e不属于b

所以e 不属于a^b;

所以e 不属于a^b^c;

.

因为e属于a,所以e属于aVbVc；

a∧b∧c=a∨b∨c;矛盾!因此a = b;

考虑abc的对称性,a = b = c;

问题5：离散数学,A B C 为任意集合 证明[数学科目]

本推断,包含两个条件：

①：A∪B＝A∪C；——A、B之并集,等于A、C之并集；

②：A∩B＝A∩C；——A、B之交集,等于A、C之交集；

结论是：

B＝C；

证明：可根据集合相等的定义来证明：B＝C,当且仅当：B是C的子集,且C亦是B的子集；

（1）证明B包含于C：

对任意元素x：

若：x∈B；

则：要么x∈A∩B,要么x∈A′∩B＝B－A；（A′表示A的补集）

若：x∈A∩B；

则：根据条件②,有：x∈A∩C；

所以：x∈C；

若：x∈A′∩B＝B－A；即：x∈B且x?A；（?是不属于号,百度显示有问题）

因：x∈B,故必有：x∈A∪B；

再根据条件①,知：x∈A∪C；即：或者x∈A,或者x∈C；

由于：x?A,所以：x∈C；

综合可知,只要x∈B,那么就一定有x∈C；所以：B是C的子集；

（2）同理可证明C是B的子集；

然后,可知：B＝C；