...y'x+xe^x 二阶微分方程令y'=z上式变成 z‘=zx+x...

精选知识

令y'=z上式变成 z‘=z/x+xe^x

左右同乘xdx 再积分

z'xdx=zdx+x^2e^xdx z怎么没了?z根本没有消掉

此处应该除以x,(z'/x)=z/x^2+e^xdx

z'/x-z/x^2=d^x

注意：(z/x)'=z'/x-z/x^2

所以：

(z/x)'=e^x

z/x=e^x+C

z=(e^x+C)x

y'=z

y=(e^x+C)xdx

y=e^x(x-1)+Cx^2/2+D

其他类似问题

问题1：微分方程y"=xe^x 的通解为（ ）.[数学科目]

直接积分两次就可以了

y'=∫xe^xdx=(x-1)e^x+c1

y=∫(x-1)e^x+c1dx=(x-2)e^x+c1x+c2,

c1,c2为常数

问题2：求下列微分方程的通解：y'''=xe^X[数学科目]

积分:y"=xe^x-∫e^xdx

即y"=xe^x-e^x+c1

再积分:y'=xe^x-e^x-e^x+c1x+c2=xe^x-2e^x+c1x+c2

再积分:y=xe^x-e^x-2e^x+cx^2+c2x+c3=xe^x-3e^x+cx^2+c2x+c3

问题3：求微分方程.y'-2xy=xe^(-x^2) .[数学科目]

设特解方程为

a-2x=0

a=2x

所以特解是y=ce^x^2

因为有e^(-x^2)

设

y=(AX+B)e^(-x^2)

y'=Ae^(-x^2)+(AX+B)e^(-x^2)*(-2x)

=Ae^(-x^2)-2x(AX+B)e^(-x^2)

y'-2xy

=Ae^(-x^2)-2x(AX+B)e^(-x^2)-2x(AX+B)e^(-x^2)

=(A-2AX^2-2BX-2AX^2-2BX)e^(-x^2)

=(A-4AX^2-4BX)*e^(-x^2)=xe^(-x^2)

则A=0 -4B=1

B=-1/4

所以通解是

y=C1e^x^2-1/4*e^(-x^2)+C2

问题4：微分方程y''+y'=xe^x 的通解

设p=y'

p'+p=xe^x

设u=u(x)与方程相乘,使等式左边变为(pu)'

up'+up=xue^x

由于乘法法则,(pu)'=up'+u'p

所以 u'=du/dx=u

分离变量积分

du/u=dx

u=e^x

代入得 d[pe^x]=xe^(2x)*dx

pe^x=∫xe^(2x)*dx=1/2*xe^(2x)-1/2*∫e^(2x)*dx=1/2*xe^(2x)-1/4*e^(2x)+C1（分部积分法）

y'=p=1/2*xe^x-1/4*e^x+C1*e^(-x)

y=∫y'dx=∫1/2*xe^x dx -∫1/4*e^x dx +∫C1*e^(-x) dx

=1/2*xe^x-∫1/2*e^x dx -1/4*e^x -C1*e^(-x)

=1/2*xe^x -1/2*e^x -1/4*e^x -C1*e^(-x) +C2

建议验算一下,反正思路就是这样.

问题5：求微分方程y’+2xy=xe^(-x^2）的通解[数学科目]

先求齐次的,再用待定系数求通解.

y’+2xy=0

dy/y=-2xdx

y=C1e^(-x^2)

设C1=u(x)

y'=u'(x)e^(-x^2)-2xu(x)e^(-x^2)代入原式得

u'(x)=x

u(x)=x^2/2+C2

y=(x^2/2+c)e^(-x^2)