孝感一中高一数学寒假作业答案

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(X-2)²+Y² = 3

此为以 (2,0) 为圆心 r = √3 为半径的圆

(1)

设 y/x = k

y = kx 表示通过原点斜率为k的直线.

当直线与圆恰好相切时,斜率最大或最小

对于最大的斜率情况,倾斜角的正弦为

sinα = 半径/原点与圆心间距离 = √3 /2

α = 60 度

tanα = √3

Y/X的最大值√3

---------------------------------

(2)

设 Y - X = b 表示斜率为1截距为b的直线

截距最小（或最大）时,直线与圆相切

经过切点的半径所在直线方程为

y - 0 = (-1)(x-2)

y = 2-x

(X-2)²+Y² = 3

(X-2)² = 3/2

x = 2 ±√6/2

截距最小情况对应 x = 2 +√6/2

此时 y = 2 - x = -√6/2

通过切点 (2+√6/2,-√6/2) 且斜率为 1的直线方程为

y +√6/2 = x - (2 + √6/2)

y = x - (2 + √6)

截距 b 最小值为 -√6 -2

也就是 Y - X 最小值

-------------------------

(3)

x² + y² 代表 原点到圆上任意一点的距离的平方

显然 最小值为

(2 - √3 )²

最大值为 (2 +√3)²

以上是利用平面几何来解决的.还可以用 代数 来解决

（1）以y=kx代入原方程,利用判别式≥0 求k的范围

（2）以y=x+b代入原方程,利用判别式≥0 求b的范围

(3) 利用 (X-2)²+Y² = 3 求出 x的取值范围,把x的取值范围代入到 X²+Y²= 4X-1 中求X²+Y²范围

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