...1的正约数等于(d1+d2+d4)×d8，试求正整数N一定要...

精选知识

设m=d4-1,则dm=d8*(d1+d2+d4)>d8

所以12=>m>=9

有13>=d4>=10.

又N恰有12个正约数,则N的大于1的互不相同的素因子不可能超过3个.

如果有多余3个不同的素因子,则至少有2*2*2*2=16个不同的正约数.

因此素因子不可能超过3个,通过枚举,知N可能的标准分解有以下三种情况(这里并没有对q1,q2,q3做大小排序)：

1.3个不同的素因子,则N=q1^2*q2*q3

2.2个不同的素因子,则N=q1^5*q2

3.1个素因子,N=q^12.

考虑情况3.设该素因子为p,有：d4=p^3,m=p^3-1.

dm=(1+p+p^3)*p^7.

因m>=9

则p^8|dm

有p|(1+p+p^3).不可能!

考虑情况2.令p1

因10<=d4<=13.

若d4=11,或13

则必有：p2=11或13.

此时p1=3

dm=15*d8或dm=17*d8

这两种情况都出现了新的素因子,因此d4不为11,13.

若d4=10,则p1=2,p2=5.d9=13*d8.矛盾.

若d4=12,则p1=2,p2=3.d11=15*d8,5|N矛盾.

所以情况2不可能.

考虑情况1.令2<=p1

d4=10,时,有p1=2,p2=5或p3=5.则,当p3=5时,p2=3,此时d4=5或4矛盾.

当p2=5,则p3>=11,此时d9=13*d8,所以p3=13,p1^2不可能整除N,所以若p2^2|N,则d8=50,d9=65,不可能,若p3^2|N,则：d8=130,d9=13^2,矛盾.

d4=12时,有p1=2,p2=3,此时d4=4,矛盾.

故d4=11或13.

当d4=13时,p3=13,m=12,

N=d12=(1+d1+13)*d8.=(14+p1)*d8.

d4|N,所以13|d8或13|14+p1显然后者不成立.13|d8.

若13^2|N,则p1*p2=14+p1,13^2=d8因此p1=2或7.

当p1=2时,p2=8,这与p2是素数矛盾,

当p1=7时,p2=3,矛盾.

若p1^2|d8,则p2=14+p1不可能.

若p1^2*p2=14+p1,则d8=13也不可能.

若p1^2=14+p1,则p2*13=d8.

此时p1无解.

若p1*13=d8,p2*p1=14+p1,不可能.

若p2^2|d8,则p1=14+p1,不可能.

若p2^2*p1=14+p1,则d8=13,不可能.

若p2^2=14+p1,则d8=p1*13.

则小于d8大于d4的正约数只能是由p1,p2组成,因此必有p2^<13

所以p2=3,此时p1=14-p2^2=5矛盾

若p2*13=d8,则p1*p2=14+p1,不可能.

因此d4!=13.

当d4=11时：有d10=(1+p1+11)*d8=(12+p1)*d8.p3=11

d10可能为q1*q2*q3,或q1^2*q2：

若为前者,则12 +p1必定为q1*q2,此时d8=q3但q3<=d3.故d10必为后者

并且d10*d3=N,d3=p2.

因此d10=p1^2*p3或p1*p3^2.

若为后者,则d8=11^2,此时12+p1=p1矛盾.

若为前者,则必有p1^2|12+p1,11|d8矛盾.

通过上面的枚举,问题没有解啊?难道我算错了?

其他回答

正整数N恰有12个正整数?

追问： 正约数 追答： d4-1的正约数等于（d1+d2+d4）×d8这个条件不对吧，d4-1的正约数≤d4-1＜d4＜d8

d1+d2+d4＞3×d1＝3，（d1+d2+d4）×d8＞3×d8＞3×d4＞d4＞d4-1的正约数

d4-1的正约数≠d1+d2+d4）×d8 追问： 肯定是对的

其他类似问题

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这就是著名的角谷猜想,至今尚无人证明.

“角谷猜想”又称“冰雹猜想”.它首先流传于美国,不久便传到欧洲,后来一位名叫角谷的日本人又把它带到亚洲,因而人们就顺势把它叫做“角谷猜想”.其实,叫它“冰雹猜想”更形象,也更恰当.

为什么叫它“冰雹猜想”呢?顾名思义,这首先要从自然现象——冰雹的形成谈起.

大家知道,小水滴在高空中受到上升气流的推动,在云层中忽上忽下,越积越大并形成冰,最后突然落下来,变成冰雹.

“冰雹猜想”就有这样的意思,它算来算去,数字上上下下,最后一下子像冰雹似地掉下来,变成一个数字：“1”．

这个数学猜想的通俗说法是这样的：

任意给一个自然数N,如果它是偶数,就将它除以2,如果他是奇数,就将他乘3减1

对任意的一个自然数施行这种演算手续,经有限步骤后,最后结果必然是最小的自然数1．

对这个猜想,你不妨任意挑几个数来试一试：

若 N=9,则 9×3＋1=28, 28÷2=14, 14÷2=7, 7×3＋1=22,22÷2=11,11×3＋1=34,34÷2=17,17×3＋1＝52,52÷2＝26, 26÷2＝13,13×3＋1=40,40÷2=20,20÷2=10,10÷2=5,5×3＋1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1．

你看,经过19个回合(这叫“路径长度”),最后变成了“1”．

若 N=120,则120÷2=60,60÷2=30,30÷2=15,15×3＋1=46,46÷2=23,23×3＋1=70,70÷2=35,35×3＋1=106,106÷2=53,53×3＋1=160,160÷2=80,80÷2=40,40÷2=20,20÷2=10,10÷2=5,5×3＋1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1．

你看,经过20个回合,最后也仍然变成了“1”．

有一点更值得注意,假如N是2的正整数方幂,则不论这个数字多么庞大,它将“一落千丈”,很快地跌落到1．例如：

N=65536=216

则有：65536→32768→16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→32→16→8→4→2→1．

你看,它的路径长度为16,比9的还要小些.

我们说“1”是变化的最终结果,其实不过是一种方便的说法.严格地讲,应当是它最后进入了“ 1→4→2→1”的循环圈.

这一结果如此奇异,是令人难以置信的.曾经有人拿各种各样的数字来试,但迄今为止,总是发现它们最后都无一例外地进入“1→4→2→1”这个死循环.已经验证的最大数目,已达到1099511627776．

由于数学这门科学的特点,尽管有了如此众多的实例,甚至再试验下去,达到更大的数目,但我们仍不能认为“冰雹猜想”已经获得证明,因此还只能称它为一个猜想.(在我们所查阅的资料中,尚未见到对这一猜想的完整证明.)可想而知,要证明它或推翻它,都是很不容易的,要设法说出它的实质,也似乎是难上加难.

不仅如此,对于“角谷猜想”,人们在研究过程中或作出了改动,或进行了推广,得出的结果同样富有奇趣.比如,对于“角谷猜想”若作如下更动：

任给一个自然数,若它是偶数,则将它除以2；若它是奇数,则将它乘以3再减1．……如此下去,经过有限次步骤运算后,它的结果必然毫无例外地进入以下三个死循环：

①1→2→1；②5→14→7→20→10→5；

③17→50→25→74→37→110→55→164→82→41→122→61→182→91→272→136→68→34→17．

问题4：一道数论题目a是大于2的正整数,求证a的4次方加上4是合数.[数学科目]

a^4+a+4=(a^2)^2+2^2=(a^2+2)^2-2*a^2*2

=(a^2+2)^2-(2a)^2=(a^2+2+2a)(a^2+2-2a)

问题5：求解下列同余式组：x=8(mod 15),x=5(mod 8),x=13(mod 25)用孙子剩余定理做,（主要是孙子定理中需要三个模数两两互素,但这题中15和25不是互素的,如何处理?）[数学科目]

将x≡8(mod 15)分成

x≡8≡2(mod 3)

x≡8≡3(mod 5)

后一式可以不要,因含于x≡13(mod 25),最后方程组同解化为

x≡2(mod 3)

x≡5(mod 8)

x≡13(mod 25)