上位第一集_...的单调性(3)若函数f(x)在(a，a+1)上位增函数，求a的...[数学]

精选知识

（1）a=2,f(x)=ln(x+1)+2x/(x+1)

f'(x)=1/(x+1)+[2(x+1)-2x]/(x+1)^2=1/(x+1)+2/(x+1)^2

f'(0)=1+2=3

f(0)=ln1+0=0

故切线方程是y-0=3(x-0)

即有y=3x

(2)f'(x)=1/(x+1)+a/(x+1)^2=[x+1+a]/(x+1)^2

f(x)的定义域为（-1,+∞)

当a≥0时,在x∈（-1,+∞)上,f'(x)>0,此时f(x)为单调增函数.

当a0,此时f(x)为单调增函数.

(3)f(x)在(a,a+1)上为增函数,则有f'(x)在(a,a+1)上恒>0

即有y=x+1+a在(a,a+1)上恒>0

即有a+1+a>0

所以,范围是a>-1/2.

其他回答

求导啊，基本就出来啦

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问题1：设函数f（x）＝ax－（a＋1）ln（x＋1）,其中a≥－1,求f（x）的单调区间[数学科目]

由已知得函数f（x）的定义域为（-1,+∞）,且f′(x)=(ax-1)/(x+1) (a≥-1),

（1）当-1≤a≤0时,f′（x）＜0,函数f（x）在（-1,+∞）上单调递减,

（2）当a＞0时,由f′（x）=0,解得x=1/a ．

当x∈(-1,1/a)时,f′（x）＜0,函数f（x）在(-1,1/a)上单调递减．

当x∈(1/a,+∞)时,f′（x）＞0,函数f（x）在(1/a,+∞)上单调递增．

综上所述：

当-1≤a≤0时,函数f（x）在（-1,+∞）上单调递减．

当a＞0时,函数f（x）在(-1,1/a)上单调递减,函数f（x）在(1/a,+∞)上单调递增．

问题2：已知函数f（x）=ln（ax+1）+1?x1+x，x≥0，其中a>0．（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．[数学科目]

（Ⅰ）f′(x)=

a

ax+1

-

2

(1+x) 2

=

a x 2 +a-2

(ax+1) (1+x) 2

，
∵f′（x）在x=1处取得极值，f′（1）=0
  即 a+a-2=0，解得  a=1
（Ⅱ）f′(x)=

a x 2 +a-2

(ax+1) (1+x) 2

，
∵x≥0，a>0，
∴ax+1>0
①当a≥2时，在区间（0，+∞）上f′（x）>0．
∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）
②当0<a<2时，由f′（x）>0解得x>

2-a a

由f′(x)<0解得x<

2-a a

∴f（x）的单调减区间为(0，

2-a a

)

，单调增区间为(

2-a a

，+∞)

（Ⅲ）当a≥2时，由（II）知，f（x）的最小值为f（0）=1
当0<a<2时，由（II）②知，f(x)在x=

2-a a

处取得最小值f(

2-a a

)<f(0)=1

，
综上可知，若f（x）的最小值为1，则a的取值范围是[2，+∞）

问题3：已知函数f(x)=ln(ax+1)+x^2-ax,a>0,讨论函数单调区间 若对于任意的a∈[1,2],不等式f(x)≤m在[1/2,1]上恒成立,求m的取值范围.[数学科目]

【注：题没有错,问题可化为在条件:a∈[1,2],x∈[1/2,1]下,求函数f(x)的最大值】函数f(x)=㏑(ax+1)+x²-ax.求导得：f'(x)=[a/(ax+1)]+2x-a=2ax[x-(a²-2)/(2a)].易知,当a∈[1,2]时,-1/2≤(a²-2)/(2a)≤1/2.∴在[1/2,1]上,f'(x)≥0,∴在[1/2,1]上,f(x)max=f(1)=㏑(a+1)+1-a.又函数g(x)=㏑(1+x)+1-x,x∈[1,2].g'(x)=-x/(x+1)＜0.∴g(x)max=g(1)=㏑2.即m≥㏑2.

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1.对函数求微分,得(x-ln(1+x)-xln(1+x))/(ax^2(1+x)),x-ln(1+x)-x * ln(1+x)对所有x>-1都是小于零的.

这是因为函数的二阶导是-ln(1+x),所以导数先增后减,其在0点是最大值0.因此可得导数在全定义域单调递减.

2.第二题就是求ln(1+x)/(ax)在趋于0的时候等于1即可.此时a=1

问题5：已知函数f（x）=ln(ax+1)+x^2-ax,a>0 讨论单调区间[数学科目]

显然x>-1/a

f'(x)=a/(ax+1)+2x-a

=2ax(x-(a/2-1/a))/(ax+1)

其中2a>0,ax+1>0

当0=0,f(x)的单调增区间为(-1/a,+∞),没有单调减区间

当a>√2时,-1/a