证明黎曼函数可积证明黎曼函数黎曼可积!

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对任意的e>0,函数值>e的点只有有限个（1/q>e等价于q<1/e,q是正整数,有限）,记为K,将区间作分划,使得每一子区间长度=0,于是达布上和-达布下和<2e

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第一个答案说的是黎曼函数和一堆无关紧要的资料…… 黎曼叶是黎曼（这个柯西曾证明连续函数必定是可积的，黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于

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正态分布函数的密度函数是不可积的,虽然它的原函数(即不定积分)存在,但不能用初等函数表达出来.

习惯上,如果一个已给的连续函数的原函数能用初等函数表达出来,就说这函数是“积得出的函数”,否则就说它是“积不出”的函数.比如下面列出的几个积分都是属于“积不出”的函数,但是这些积分在概率论,数论,光学,傅里叶分析等领域起着重要作用.

（1）∫e^(-x2)dx；（2）∫(sinx)/xdx；

（3）∫1/(lnx)dx；（3）∫sinx2dx；

（5）∫根号(a2sin2x+b2cos2x)dx(a2≠b2)

标准正态分布函数：Φ(x)=[1/根号(2π)]∫(-∞,x)e^(-x2/2)dx

这个函数是不可积的,但是它的原函数是存在的,只是不能用初等函数表示而已.习惯上,如果一个已给的连续函数的原函数能用初等函数表达出来,就说这函数是“积得出的函数”,否则就说它是“积不出”的函数.比如下面列出的几个积分都是属于“积不出”的函数 ∫e^(-x*x)dx,∫(sinx)/xdx,∫1/(lnx)dx,∫sin(x*x)dx ∫(a*a*sinx*sinx+b*b*cosx*cosx)^(1/2)dx(a*a不等于b*b) -------------------------------------- 以下是从别人那粘贴过来的..原函数我也不知道,___________________________________ 下面证明∫sint/tdt=π/2(积分上限为∞,下限为0） 因为sint/t不存在初等函数的原函数,所以下面引入一个“收敛因子”e^(-xt)(x>=0),转而讨论含参量的积分.I(x)=∫e^(-xt)sint/tdt (积分上限为∞,下限为0） 显然：I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为0） I`(x)=∫?（e^(-xt)sint/t)/?x dt (积分上限为∞,下限为0） =∫e^(-xt)sin(t)sint(积分上限为∞,下限为0） =e^(-xt)(xsint+cost)/(1+x^2)|(上限为∞,下限为0） =-1/(1+x^2) 从而有 I(x)=-∫(1/(1+x^2))dx=-arctan(x)+C (1) |I(x)|=|∫e^(-xt)sint/tdt| ≤∫|e^(-xt)sint/t|dt ≤∫e^(-xt)dt =-(1/x)*e^(-xt)|(对t的积分原函数,上限为∞,下限为0） =1/x －－>0 (x－－>+∞) 即lim(I(x))－－>0 (x－－>+∞) 对（1）式两端取极限：lim(I(x))(x－－>+∞) =-lim(-arctan(x)+C ) (x－－>+∞)

=-π/2+C 即有0=-π/2+C,可得C=π/2 于是（1）式为 I(x）=-arctan(x)+π/2 limI(x）=lim(-arctan(x)+π/2) (x－－>0) I(0)=π/2 所以有 I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为0）=π/2 因为sinx/x是偶函数,所以 ∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为-∞） =π .

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见图

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http://zhidao.baidu.com/question/347565347.html；

http://wenku.baidu.com/link?url=oLG2LivpTjYOWH9Cdnfyxxe7Q7jr89lMULYcSZuebFdS2upTUc7Wyd_bWk3saeCSVwXPlEIWN8VuyzhU_xTtJSB2Kb8_dwgchtApT9iyiNK

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首先回顾Riemann ζ函数的定义：

若Res>1,则ζ(s)=∑{n>=1} 1/n^s；

若Res<0,则ζ(s)=(2^s)(π^(s-1))sin(πs/2)Γ(1-s)ζ(1-s),

其中Γ表示Gamma函数：Γ(z)=∫[0,∞) t^(z-1)e^(-t) dt

（或者等价地用函数方程：当s≠0且s≠1时有

π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)=π^(-(1-s)/2)Γ((1-s)/2)ζ(1-s)）；

若0<=Res<=1,使用上面的定义的ζ在全平面的唯一解析延拓.

令s=-2n,满足Res<0,所以ζ(-2n)

=(2^(-2n))(π^(-2n-1))sin(-nπ)Γ(1+2n)ζ(1+2n)

=(2^(-2n))(π^(-2n-1))((2n)!)ζ(1+2n)*sin(-nπ),

而其中sin(-nπ)=0,所以ζ(-2n)=0.证毕