...若AF=4FB，则该双曲线的离心率为( )A. 55B. 255C. ...

精选知识

由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y=ba

x，则另一渐近线OB的方程为y=-ba

x，
设A（m，bma

），B（n，-bna

），∵AF＝4FB

，∴（c-m，-bma

）=4（n-c，-bna

），
∴c-m=4（n-c），-bma

=-4bna

，解之可得m=5c2

，n=5c8

，
∴B（5c8

，?5bc8a

），由FB⊥OB可得，斜率之积等于-1，
即?5bc8a?05c8?c

??5bc8a5c8

=-1，化简可得5b²=3a²，即5（c²-a²）=3a²，
解之可得5c²=8a²，即e=ca

=2105

故选D

其他类似问题

问题1：已知F1,F2分别为双曲线X2/A2-Y2/B2=1的左右焦点若在双曲线右支上有一点P,满足|PF2|=|F1F2|,且直线PF1与圆X2+Y2=A2相切,则该双曲线的渐进线方程?[数学科目]

画一个图形,设PF1与圆相切于点M

因为|PF2|=|F1F2|

所以三角形PF1F2为等腰三角形

|F1M|=(1/4)|PF1|

又因为在直角三角形F1MO中|F1M|^2=|F1O|^2-a^2=c^2-a^2

所以|F1M|=b=(1/4)|PF1| ①

又因为|PF1|=|PF2|+2a=2C+2a ②,c^2=a^2+b^2 ③

由①②③得b/a=4/3

所以该双曲线的渐进线方程为y=（±4/3）x

问题2：已知双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F已知双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的友焦点为F,过点F作直线PF垂直该双曲线的一条渐进线L1于点P(根3/3,根6/3)（1）求此双曲线的方程（2）设A,B为双曲线上的两[数学科目]

双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的右焦点为F（c,0),过点F作直线PF垂直该双曲线的一条渐进线L1于点P(根3/3,根6/3),

∴（√3/3）^2/a^2-(√6/3)^2/b^2=0,

∴b^2=2a^2,

L1的斜率b/a=√2,

PF的斜率=-1/√2,PF:y-√6/3=-1/√2*（x-√3/3）交x轴于F(√3,0）,

∴c=√3,3a^2=c^2=3,a^2=1,b^2=2,

∴此双曲线的方程为x^2-y^2/2=1.

(2)设A(1+h,2+k),B(1-h,2-k),则

（1+h)^2-(1+k)^2/2=1,

(1-h)^2-(1-k)^2/2=1,

相减得4h-2k=0,

AB的斜率k/h=2,

∴AB的方程为2x-y=0(舍）.本小题无解.

问题3：已知椭圆C1：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）与双曲线 C2：x2-y24＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则椭圆C1的离心率为 （　　）A. e2=10[数学科目]

由题意，C₂的焦点为（±5

，0），一条渐近线方程为y=2x，
根据对称性可知以C₁的长轴为直径的圆交y=2x于A、B两点，满足AB为圆的直径且AB=2a
∵椭圆C₁与双曲线C₂有公共的焦点，
∴C₁的半焦距c=5

，可得a²-b²=5，…①
设C₁与y=2x在第一象限的交点的坐标为A（m，2m），
代入C₁的方程，解得m²=

a

2

b

2

b

2

+4

a

2

，…②
由对称性可得直线y=2x被C₁截得的弦长AB=25

m，
结合题意得25

m=2a3

，可得m=a35

，…③
由②③联解，得a²=11b²…④
再联解①④，可得a²=5.5，b²=0.5，得c²=a²-b²=5．
∴椭圆C₁的离心率e满足e²=(ca

)

2

=

c

2

a

2

=1011

．
故选：A

问题4：已知双曲线x2/a2-y2/b2=1（a>0 b>0)的左右焦点为F1 F2点A在第一象限的图像上,若三角形AF1F2的面积为1,且tan角AF1F2=1/2,tan角AF2F1= -2 ,则双曲线的方程为[数学科目]

设A(m,n).m＞0,n＞0．

由tanAF1F2=1/2可得,n/(m+c)=1/2,

由tanAF2F1=-2可得,n/(m-c)= 2,

由三角形AF1F2面积为1可得,1/2?2c?n=1,

以上三式联立解得：

c＝√3／2,m＝5√3／6,n＝2√3／3．

所以A（5√3／6,2√3／3）,F1（－√3／2,0）,F2（√3／2,0）.

根据双曲线定义可得2a＝｜AF1｜－｜AF2｜＝√15.

a＝√15／2,

b＝√（c2－a2）＝√3.

∴双曲线方程为4x2／15－y2／3＝1．

问题5：5.已知F是双曲线x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)的左焦点,点E是双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B若ΔABE是若叫三角形,则该双曲线的斜率的范围[数学科目]

提示：

∵AB⊥X轴,ABE是锐角三角形∠AEF＜45°,AF代入双曲线方程：c^2/a^2-y^2/b^2=1

y^2(a)=b^2(e^2-1) e=c/a

b^2(e^2-1)＜(a+c)^2 不等式两边同除以a^2得： b^2/a^2*(e^2-1)＜(1+e)^2

(e^2-1)^2＜(1+e)^2 双曲线的e>1 ∴e^2-1<1+e

e^2-e-2<0

所以1