过Q(4，1)作抛物线y2=8x的弦AB，若弦恰以Q为中点，求AB...

精选知识

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则

y

1

2

＝8

x

1

y

2

2

＝8

x

2

两式相减得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂）
所以
∴

y

1

?

y

2

x

1

?

x

2

＝8

y

1

+

y

2

，
又

y

1

+

y

2

2＝1

∴K_AB=4
直线AB方程：y-1=4（x-4）
即 4x-y-15=0．

其他类似问题

问题1：过点Q(4,1)作抛物线Y^2=8X的弦AB,AB恰好被点Q平分,求AB所在直线的方程[数学科目]

方法有好几种,我就给个简单一点的吧

设直线的斜率为K,则直线方程为：Y-1=K·（X-4）,

联立两方程：

Y-1=K·（X-4）

Y^2=8X

消去未知数 X 后得：kY^2-8Y-32K+8=0

又有根的判别式=b^2-4ac=32(4k^2-k+2)>0是恒成立的

根据一元二次方程的特点：X1+X2= -b/2a

而 X1+X2=2*4=8

-b/2a= 4/k

即有：4/k=8

k=0.5

方程的斜率 k=0.5

所以该直线AB的方程为：y=0.5x-1

问题2：过Q（4，1）作抛物线y2=8x的弦AB，若弦恰以Q为中点，求AB所在直线的方程．[数学科目]

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则

y

1

2

＝8

x

1

y

2

2

＝8

x

2

两式相减得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂）
所以
∴

y

1

?

y

2

x

1

?

x

2

＝8

y

1

+

y

2

，
又

y

1

+

y

2

2＝1

∴K_AB=4
直线AB方程：y-1=4（x-4）
即 4x-y-15=0．

问题3：已知点P（2，1），若抛物线y2=4x的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是______．[数学科目]

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），弦AB所在直线方程为：y-1=k（x-2）
即y=kx+1-2k
联立y＝kx+1?2k

y

2

＝4x

整理得k²x²+[2k（1-2k）-4]x+（1-2k）²=0．
所以有x₁+x₂=-2k(1?2k)?4

k

2

∵弦AB恰好是以P为中点，
∴-2k(1?2k)?4

k

2

=4
解得k=2．
所以直线方程为 y=2x-3，即2x-y-3=0．
故答案为：2x-y-3=0．

问题4：过Q（4，1）作抛物线y2=8x的弦AB，若弦恰以Q为中点，求AB所在直线的方程．[数学科目]

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则

y

1

2

＝8

x

1

y

2

2

＝8

x

2

两式相减得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂）
所以
∴

y

1

?

y

2

x

1

?

x

2

＝8

y

1

+

y

2

，
又

y

1

+

y

2

2＝1

∴K_AB=4
直线AB方程：y-1=4（x-4）
即 4x-y-15=0．

问题5：过Q（4，1）作抛物线y2=8x的弦AB，若弦恰以Q为中点，求AB所在直线的方程．[数学科目]

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则

y

1

2

＝8

x

1

y

2

2

＝8

x

2

两式相减得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂）
所以
∴

y

1

?

y

2

x

1

?

x

2

＝8

y

1

+

y

2

，
又

y

1

+

y

2

2＝1

∴K_AB=4
直线AB方程：y-1=4（x-4）
即 4x-y-15=0．