已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为...

精选知识

因为a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，
所以：a₁+3d＞3，3a₂≤9?d＞23

，a₁+d≤3?a₁≤3-d＜3-23

=73

=213

．
∵等差数列{a_n}的首项a₁及公差d都是整数
∴a₁=2；?13

＜d≤1?d=1．
∴a_n=2+1×（n-1）=n+1．
∴b_n=1n(n+1)

=1n?1n+1

．
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n=1-12+12?13

+…+1n?1n+1

=1-1n+1

=nn+1

即nn+1

＜99100

?n＜99．故满足条件的最大n值为98．
故选B．

其他类似问题

问题1：已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn，若a1＞1，a4＞3，S3≤9，设bn＝1nan，则使b1+b2+…+bn＜99100成立的最大n值为（　　）A. 97B. 98C. 99D. 100[数学科目]

因为a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，
所以：a₁+3d＞3，3a₂≤9?d＞23

，a₁+d≤3?a₁≤3-d＜3-23

=73

=213

．
∵等差数列{a_n}的首项a₁及公差d都是整数
∴a₁=2；?13

＜d≤1?d=1．
∴a_n=2+1×（n-1）=n+1．
∴b_n=1n(n+1)

=1n?1n+1

．
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n=1-12+12?13

+…+1n?1n+1

=1-1n+1

=nn+1

即nn+1

＜99100

?n＜99．故满足条件的最大n值为98．
故选B．

问题2：已知等差数列an的首项a1及公差d都是整数,前n项和为Sn,若a1＞1,a4＞3,S3≤9,设bn=2n*an,则b1+b2+…+bn的结果为[数学科目]

S3=3a1+3d≤9

a1+d≤3

a2≤3

a4>3,a4>a2,a4=a2+2d>a2 d>0,公差d>0,数列为递增数列.

a1>1,又a1为整数,a1至少为2,又a2≤3,a1至多为2,因此a1=2 a2=3

d=a2-a1=3-2=1

an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1

bn=2n×an=2n(n+1)=2n2+2n

Tn=b1+b2+...+bn

=2(12+22+...+n2)+2(1+2+...+n)

=2n(n+1)(2n+1)/6 +2n(n+1)/2

=[n(n+1)/3][(2n+1)+3]

=2n(n+1)(n+2)/3

问题3：已知等差数列{an}的首项a1及公差d都是整数，前n项和为Sn（n∈N*）．若a1＞1，a4＞3，S3≤9，则通项公式an=______．[数学科目]

因为a₁＞1，a₄＞3，S₃≤9，所以a₁+3d＞3，3a₂≤9，
∴d＞23

，a₁+d≤3，
∴a₁≤3-d＜3-23

=73

=213

．
∵等差数列{a_n}的首项a₁及公差d都是整数，
∴a₁=2，则由以上可得 13

＜d≤1，可得 d=1．
∴a_n=2+1×（n-1）=n+1．
故答案为 n+1．

问题4：已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=1,前n项和为Sn,bn=1/Sn （1）求bn（2）求证：b1+b2+……+bn[数学科目]

(1) Sn=[2a1+(n-1)d]*n/2=[2*1+n-1]*n/2=n(n+1)/2

所以bn=1/Sn=2/n(n+1)

(2) bn=2[1/n-1/(n+1)]

b1+b2+...+bn=2(1-1/2)+2(1/2-1/3)+...+2[1/n-1/(n+1)

=2[1-1/(n+1)]

=2-2/(n+1)

问题5：已知{an}是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．（Ⅰ）求通项an及a2；（Ⅱ）设首项为1，公比为3的等比数列{bn}，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn．[数学科目]

（1）由题意可得
a_n=19+（n-1）×（-2）=-2n+21，a₂=17
∴

S

n

＝?

n

2

+20n

．…（6分）
（2）由题意可得，

b

n

＝

3

n?1

由等比数列的求和公式可得，

T

n

＝1?

3

n

1?3

=

3

n

?12

…（12分）