...以A为直角顶点作Rt△ABC，且点B、C在圆上，试求BC中...

精选知识

设M（x，y），连接OC，OM，MA，则
由垂径定理，可得OM⊥BC，
∴OM²+MC²=OC²，
∵AM=CM，
∴OM²+AM²=OC²，
∴x²+y²+（x-3）²+y²=25，
即BC中点M的轨迹方程为x²+y²-3x-8=0．

其他类似问题

问题1：已知点A（3，0）是圆x2+y2=25内的一个定点，以A为直角顶点作Rt△ABC，且点B、C在圆上，试求BC中点M的轨迹方程．[数学科目]

设M（x，y），连接OC，OM，MA，则
由垂径定理，可得OM⊥BC，
∴OM²+MC²=OC²，
∵AM=CM，
∴OM²+AM²=OC²，
∴x²+y²+（x-3）²+y²=25，
即BC中点M的轨迹方程为x²+y²-3x-8=0．

问题2：已知△ABC中，点B（-3，-1），C（2，1）是定点，顶点A在圆（x+2）2+（y-4）2=4上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．[数学科目]

记G（x，y），A（x₀，y₀），
由重心公式得：x=

x

0

?13

，y=

y

0

3

，
于是有：x₀=3x+1，y₀=3y，
而A点在圆（x+2）²+（y-4）²=4上运动，
∴（3x+1+2）²+（3y-4）²=4，化简得：（x+1）²+（y-43

）²=49

．
故△ABC的重心G的轨迹方程是：（x+1）²+（y-43

）²=49

．

问题3：已知在Rt△ABC中,A(-1,0),B(3,0).1.求直角顶点C的轨迹方程；2.直角边BC中点M的轨迹方程不要复制来的答案,那些我都看过了[数学科目]

设点C（x,y）根据题意我们知道角C=90度

也就是AC垂直BC

那么直线AC的斜率=y/(x+1)

直线BC的斜率=y/(x-3)

二者之积=-1

y/(x+1)*y/(x-3)=-1

y2=-(x+1)(x-3)

y2=-x2+2x+3

x2+y2-2x=3

(x-1)2+y2=4

或者根据圆的特性,直径对的圆周角=90度

那么圆心横坐标=(-1+3)/2=1

圆心（1,0）半径=AB/2=(3+1)/2=2

所以C轨迹：(x-1)2+y2=4

问题4：如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．[数学科目]

设AB的中点为R，则R也是PQ的中点，设R的坐标为（x₁，y₁），则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|．
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²-|OR|²=36-（

x

1

2

+

y

1

2

）．
又|AR|=|PR|=

(

x

1

?4)

2

+

y

1

2

，所以有（x₁-4）²+

y

1

2

=36-（

x

1

2

+

y

1

2

），即

x

1

2

+

y

1

2

-4x₁-10=0．
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动．
设Q（x，y），因为R是PQ的中点，所以x₁=x+42，

y

1

＝y+02

，
代入方程

x

1

2

+

y

1

2

-4x₁-10=0，得(x+42

)

2

+(y2

)

2

?4?x+42

-10=0，
整理得：x²+y²=56，这就是所求的Q点的轨迹方程．

问题5：已知△ABC中，点B（-3，-1），C（2，1）是定点，顶点A在圆（x+2）2+（y-4）2=4上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．[数学科目]

记G（x，y），A（x₀，y₀），
由重心公式得：x=

x

0

?13

，y=

y

0

3

，
于是有：x₀=3x+1，y₀=3y，
而A点在圆（x+2）²+（y-4）²=4上运动，
∴（3x+1+2）²+（3y-4）²=4，化简得：（x+1）²+（y-43

）²=49

．
故△ABC的重心G的轨迹方程是：（x+1）²+（y-43

）²=49

．