(1)如图①已知AB是⊙O直径，P是AB上一点(与A、B不重合...

精选知识

证明：（1）连接OC．
∵DC是⊙O的切线，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO=90°，
即：∠QCD+∠ACO=90°． （1分）
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠A．
∴∠QCD+∠A=90°．
∵QP⊥AB，
∴∠Q+∠A=90°．
∴∠Q=∠QCD，
∴DQ=DC，即△CDQ是等腰三角形． （3分）
（2）成立．
连接OC．
∵DC是⊙O的切线，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO=90°，即：∠QCD+∠ACO=90°． （1分）
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠OAC．
∵∠OAC=∠QAP，
∴∠ACO=∠QAP．
∵QP⊥AB，
∴∠Q+∠QAP=90°．
∴∠Q+∠ACO=90°，
∴∠Q=∠QCD．
∴DQ=DC，即△CDQ是等腰三角形． （3分）

其他类似问题

问题1：AB是圆O的直径,P是AB上的一点(与A,B不重合),QP垂直AB,垂足为P,直线QA交圆O于点C,过点C作圆O的切线交直线QP于点D,求证三角形CDQ是等腰三角形[数学科目]

只需要证明三角形AOC相似于三角形APQ,应为AO=CO所以AP=QP,因为AP=AO+OP；QP=QD+DP；AO=CO=DP,OP=CD所以CD=QD!；还可以直接证明角A为45度,即角CQD为45度,由相似三角形直接证明角度也可以的!

问题2：如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q.若QP=QO，则QCQA的值为（　　） A. 23?1B. 23C. 3+2D. 3+2[数学科目]

如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，
QA=r-m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA?QC=QP?QD．
即（r-m）（r+m）=m?QD，所以QD=

r

2

?

m

2

m

．
连接DO，由勾股定理，得QD²=DO²+QO²，
即(

r

2

?

m

2

m

)

2

＝

r

2

+

m

2

，
解得m＝33r

所以，QCQA＝r+mr?m＝3+13?1＝3+2

故选D．

问题3：如图,正方形ABCD内接于圆O,点P在劣弧AB上,连接DP,交AC于点Q.若QP=QD,则 QC/QA的值为这是图，还有题中的QP=QD打错了，正确的是QP=QO[数学科目]

当QP=QD时,点P与B重合,点Q与O重合.

此时,QC/QA=OC/OA=1.

问题4：已知AB是○o的直径,P是AB上的一点（与A、B不重合）,QA⊥AB,垂足为P直线QA交○o于C点,过C点作○o的切线交直线QP于点D,证明三角形CDQ是等腰三角形包括辅助线[数学科目]

连接BC,延长DC,在DC延长线上取一点E

ED切圆O于C,∠ECA为弦CA与切线ED所构成的弦切角,而∠ABC为弦AC所对的圆周角,于是有∠ECA=∠B

由于QA,ED交于C,∠ECA与∠QCD互为对顶角,∴∠ECA=∠QCD

∴∠B=∠QCD

AB为圆O直径,C为切点,∠ACB为直径所对的圆周角,∴∠ACB=90°

∵QP⊥AB于P

∴∠QPA=90°

∴∠QPA=∠ACB

于是,在△AQP和△ACB中：

∠QPA=∠ACB,∠Q为公共角

∴△AQP∽△ACB

∴∠Q=∠B

∴∠Q=∠QCD

∴△QCD为等腰三角形

问题5：已知AB是○o的直径,P是AB上的一点（与A、B不重合）,QA⊥AB垂足为P直线QA交○o于C点,过C点作○o的切线交直线QP于点D,当P移到BA的延长线时,其他条件不变,证明三角形CDQ是等腰三角形还成立吗?若[数学科目]

垂足为P直线QA交○o于C点,过C点作○o的切线交直线QP于点D,证明三角形∴∠B=∠QCD AB为圆O直径,C为切点,∠ACB为直径所对的圆周角,∴∠ACB