微分方程

精选知识

k重实根指方程有k个相等的根,

举个简单的例子,X^k=0（k为整数）,这个方程就有k重实根X=0

其他回答

就是有k个相等的根

其他类似问题

问题1：求常系数齐次线性微分方程的通解时 会遇到“单实根”“K重实根”“一对K重复根” 请解释一下引号内的概念[数学科目]

其实你可以用二次方程来理解,

如果二次方程有两个相异的实根,那么其中任一个根就是单根;当两根无限接近的时候,它们就会变成二重根,三次方程也一样,不过它可以有二重根也可以有三重根;而一对复根是指两个共轭的复根,即实部相同,虚部互为相反数的两根,当然它们也可以是重根

问题2：高数微分方程中什么是单根和重根,最好有例子,[数学科目]

所谓单根和重根,是个相对概念.

二阶微分方程可写成y''+py'+q=Q(n)*e^(rx),其中Q(n)是x的n次多项式.其特征方程为z^2+pz+q=0,特征根为z1,z2.

若二者都不是r,则r不是特征方程的根,在求特解时把特解设为P(n)*e^(rx),将其代入原微分方程,比较系数,即可确定P(n)；

若r=z1且不等于z2,则称r是特征方程的单根,此时特解设为xP(n-1)*e^(rx),将其代入原微分方程,比较系数,即可确定P(n-1)；

若r=z1=z2,则称r是特征方程的二重根,特解设为x^2*P(n-2)*e^(rx),将其代入原微分方程,比较系数,即可确定P(n-2).

比较系数即令方程左右两边x的同次幂的系数都分别相等,该过程一般都归结为求解多元一次方程组,普通线性消元法即可解决.

高阶微分方程同理.

例子不妨自己举几个上上手,可取课后练习,再对一下答案,几个练习后即可很快掌握求解过程.有时候困难的地方在于求解特征方程,一般试一试正负1,正负2等等即可将其降幂,不过这已经属于另外一个话题了.

问题3：微分方程特征根怎么设?有什么规律?[数学科目]

一般的齐次方程形式都是ay''+by'+cy=0

那么特征方程就是ax^2+bx+c=0,(a≠0)

根据判别式来确定方程的根.

规律的话就是y'设为x,y''设为x^2,y就当做1,如果是高阶导数的话就是y^(n)=x^n

问题4：三重实根,共轭虚根,

三重实根表示有三个实数根,二重表示两个根,共轭虚根表示这对根,实部一样,虚部相反

问题5：请解释一下微分方程通解中“k重复根”,最好能举一个简单的例子说明下,[数学科目]

比如方程：y"'-3y"+3y'+y=0

特征方程为:t^3-3t^2+3t-1=0

(t-1)^3=0

得3重根t=1

所以通解为y=(c1x^2+c2x+c3)e^x