n阶方阵_A，B是n阶方阵，求证：AB 与 BA有相同的特征值.[数学]

精选知识

LS的..由于A不一定可逆,所以AB～A^{-1}(AB)A=BA的解答有缺陷

详细解答请见下图

注意关于特征值是否为零的分类讨论是必要的

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问题1：高等代数证明：A、B皆为n阶方阵,如果AB=BA,且A有n个不同的特征值,证明B相似于对角[数学科目]

由A有n个不同的特征值,每个特征值对应的特征空间维数为1,且所有特征向量线性无关.设a为A的特征值,x为对应的非零特征向量,则ABx=BAx=B(Ax)=B(ax)=a(Bx),这说明Bx也是A的对应于特征值a的特征向量,Bx和x同在a对应的特征空间（维数为1）中,x非零,从而存在b使得Bx=bx.这说明A的特征向量都是B的特征向量,B也有n个线性无关的特征向量,必相似于对角阵

问题2：设A，B都是n阶矩阵，AB=A+B，证明：（1）A-E，B-E都可逆；（2）AB=BA．[数学科目]

证明：
（1）因为（A-E）（B-E）=AB-（A+B）+E=E，
所以A-E，B-E都可逆．
（2）由（1）知

E＝(A?E)(B?E)    ＝(B?E)(A?E)    ＝BA?(A+B)+E

所以AB=A+B=BA

问题3：设A,B为n阶方阵,且AB＝A+B,试证AB＝BA[数学科目]

由AB=A+B, 有(A-E)(B-E)=AB-A-B+E=E.

A-E与B-E互为逆矩阵, 于是也有(B-E)(A-E)=E.

即得BA=A+B=AB.

问题4：设A,B为N阶方阵,若A可逆,证明AB与BA相似[数学科目]

因为[A^(-1)]*AB*A=BA,所以AB与BA相似.注:A^(-1)指的是A的逆矩阵.

问题5：设A,B都是N阶矩阵,且A可逆,证明AB与BA有相同的特征值谁快给我答案B^- 是什么啊

A^-1表示A的逆,^表示后面的是指数.

由A^-1ABA=BA可知AB与BA相似,故AB与BA有相同的特征值.